【アポロニウスの円】2定点からの距離の比が一定である点の軌跡【藤田医科大・常葉大】

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2定点からの距離の比が一定である点の軌跡

ヒロ

それでは「2定点からの距離の比が一定である点の軌跡」を考えよう。

　2点A，Bからの距離の比が $m:n~(m<n)$ である点Pの軌跡を考える。2点A，Bが $x$ 軸上になるように座標軸を定めることができるから，2点A，Bの座標をそれぞれA$(a,~0)$，B$(b,~0)$ $(a<b)$ として考える。
　$\text{AP}:\text{BP}=m:n$ より，$n\text{AP}=m\text{BP}$ となり，両辺を2乗すると

\begin{align*}
n^2\text{AP}^2=m^2\text{BP}^2
\end{align*}

点Pの座標を $(X,~Y)$ とすると

\begin{align*}
&n^2\{(X-a)^2+Y^2\}=m^2\{(X-b)^2+Y^2\} \\[4pt]
&(n^2-m^2)X^2-2(n^2a-m^2b)X+(n^2-m^2)Y^2=-n^2a^2+m^2b^2 \\[4pt]
&(n^2-m^2)\left(X-\dfrac{n^2a-m^2b}{n^2-m^2}\right)^2+(n^2-m^2)Y^2=\dfrac{(n^2a-m^2b)^2}{n^2-m^2}-n^2a^2+m^2b^2 \\[4pt]
&\left(X-\dfrac{n^2a-m^2b}{n^2-m^2}\right)^2+Y^2=\dfrac{(n^2a-m^2b)^2-(n^2a^2-m^2b^2)(n^2-m^2)}{(n^2-m^2)^2} \\[4pt]
&\left(X-\dfrac{n^2a-m^2b}{n^2-m^2}\right)^2+Y^2=\left(\dfrac{mn}{n^2-m^2}(a-b)\right)^2
\end{align*}

よって，点Pの軌跡は，中心$\left(\dfrac{n^2a-m^2b}{n^2-m^2},~0\right)$，半径 $\dfrac{mn}{n^2-m^2}(b-a)$ の円である。
この円がアポロニウスの円であるが，中心は線分ABを $m^2:n^2$ に外分する点である。
　直径の両端をC$(c,~0)$，D$(d,~0)$ $(c<d)$ とすると，

\begin{align*}
c&=\dfrac{n^2a-m^2b}{n^2-m^2}-\dfrac{mn}{n^2-m^2}(b-a) \\[4pt]
&=\dfrac{n^2a-m^2b-mnb+mna}{n^2-m^2} \\[4pt]
&=\dfrac{na(n+m)-mb(m+n)}{n^2-m^2} \\[4pt]
&=\dfrac{na-mb}{n-m}
\end{align*}

\begin{align*}
d&=\dfrac{n^2a-m^2b}{n^2-m^2}+\dfrac{mn}{n^2-m^2}(b-a) \\[4pt]
&=\dfrac{n^2a-m^2b+mnb-mna}{n^2-m^2} \\[4pt]
&=\dfrac{na(n-m)+mb(n-m)}{n^2-m^2} \\[4pt]
&=\dfrac{na+mb}{n+m}
\end{align*}

この結果から，点Cは線分ABを $m:n$ に外分する点であり，点Dは線分ABを $m:n$ に内分する点であることが分かる。