休校だからこそ重要な自宅学習

【数学ⅡB】曲線上の点の軌跡【日本福祉大・東京女子大・明治薬科大】

曲線上の点の軌跡数学IAIIB
スポンサーリンク

ここでは曲線上の点の軌跡について説明します。

大学入試でよく出題される問題としては,放物線の頂点の軌跡や円の中心の軌跡があります。

問題文に書かれた条件を数式で表して,軌跡を求められるようにしましょう。

スポンサーリンク

放物線の頂点の軌跡【日本福祉大】

2020年 日本福祉大放物線 $y=x^2+\dfrac{tx}{2}-\dfrac{t}{3}$ の頂点をQとする。$t$ がすべての実数値をとって変化するとき,点Qの軌跡の方程式を求めよ。
【考え方と解答】
$y=x^2+\dfrac{tx}{2}-\dfrac{t}{3}$ より
\begin{align*}
y&=\left(x+\dfrac{1}{4}t\right)^2-\dfrac{1}{16}t^2-\dfrac{1}{3}t
\end{align*}
点Qの座標を $(X,~Y)$ とすると
\begin{align*}
&X=-\dfrac{1}{4}t \cdots\cdots① \\[4pt]&Y=-\dfrac{1}{16}t^2-\dfrac{1}{3}t \cdots\cdots②
\end{align*}
①より $t=-4X$
これを②に代入すると
\begin{align*}
Y&=-\dfrac{1}{16}(-4X)^2-\dfrac{1}{3}(-4X) \\[4pt]&=-X^2+\dfrac{4}{3}X
\end{align*}
$t$ がすべての実数値をとって変化するとき,$X$ もすべての実数値をとって変化するから,求める点Qの軌跡の方程式は
\begin{align*}
y=-x^2+\dfrac{4}{3}x
\end{align*}

タイトルとURLをコピーしました