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【数学ⅡB】等差数列の和の最大【同志社女子大】

等差数列の和の最大値数学IAIIB

等差数列の和の最大に関する問題について説明します。

等差数列の和を具体的に求めなくても,その和がいつ最大になるかを求めることは可能です。

問題の意味を考えることで,何を考えればよいかが分かります。

答えに最短ルートでたどり着けるようにしましょう。

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等差数列の和の最大と最小

ヒロ
ヒロ

まずは和の変化について知ろう。

和の変化正の数を加えると和は増加し,負の数を加えると和は減少する。
ヒロ
ヒロ

何を当たり前のことを言ってるんだと言われるかもしれないが,知っていることと知識を利用することができることは異なる。

ヒロ
ヒロ

知っていることを利用・応用できるようにしよう。

ヒロ
ヒロ

では,次に等差数列の和の最大最小について考える。

ヒロ
ヒロ

等差数列の和がいつ最大になるか,またはいつ最小になるかについては,次のように考えると良い。

等差数列の和の最大最小初項が正,公差が負のとき,0以上の項をすべて加えたときに和は最大となる。また,初項が負,公差が正のとき,0以下の項をすべて加えたときに和は最小となる。

2021年 同志社女子大

2021年 同志社女子大初項53,公差 $-4$ の等差数列 $\{a_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき,$S_n$ の最大値は $\myhako$ である。
【解答と考え方】
初項が正で,公差が負であるから,いずれは負の項が現れる。したがって,0以上の項をすべて加えたときに $S_n$ は最大となる。数列 $\{a_n\}$ の一般項は
\begin{align*}
a_n&=53-4(n-1) \\[4pt]&=-4n+57
\end{align*}
であるから,$a_n\geqq0$ を解くと
\begin{align*}
&-4n+57\geqq0 \\[4pt]&n\leqq\dfrac{57}{4}=14.25
\end{align*}
よって,$S_n$ が最大となるのは $n=14$ のときで
\begin{align*}
S_{14}&=\dfrac{a_1+a_{14}}{2}\Cdota14 \\[4pt]&=\dfrac{53+1}{2}\Cdota14 \\[4pt]&=54\times7=378
\end{align*}
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