等差数列の和の最大に関する問題について説明します。
等差数列の和を具体的に求めなくても，その和がいつ最大になるかを求めることは可能です。
問題の意味を考えることで，何を考えればよいかが分かります。
答えに最短ルートでたどり着けるようにしましょう。
Contents
等差数列の和の最大と最小
ヒロ
まずは和の変化について知ろう。
和の変化正の数を加えると和は増加し，負の数を加えると和は減少する。
ヒロ
何を当たり前のことを言ってるんだと言われるかもしれないが，知っていることと知識を利用することができることは異なる。
ヒロ
知っていることを利用・応用できるようにしよう。
ヒロ
では，次に等差数列の和の最大最小について考える。
ヒロ
等差数列の和がいつ最大になるか，またはいつ最小になるかについては，次のように考えると良い。
等差数列の和の最大最小初項が正，公差が負のとき，0以上の項をすべて加えたときに和は最大となる。また，初項が負，公差が正のとき，0以下の項をすべて加えたときに和は最小となる。
2021年 同志社女子大
2021年 同志社女子大初項53，公差 $-4$ の等差数列 $\{a_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき，$S_n$ の最大値は $\myhako$ である。
【解答と考え方】
初項が正で，公差が負であるから，いずれは負の項が現れる。したがって，0以上の項をすべて加えたときに $S_n$ は最大となる。数列 $\{a_n\}$ の一般項は
初項が正で，公差が負であるから，いずれは負の項が現れる。したがって，0以上の項をすべて加えたときに $S_n$ は最大となる。数列 $\{a_n\}$ の一般項は
\begin{align*}
a_n&=53-4(n-1) \\[4pt]&=-4n+57
\end{align*}
であるから，$a_n\geqq0$ を解くとa_n&=53-4(n-1) \\[4pt]&=-4n+57
\end{align*}
\begin{align*}
&-4n+57\geqq0 \\[4pt]&n\leqq\dfrac{57}{4}=14.25
\end{align*}
よって，$S_n$ が最大となるのは $n=14$ のときで&-4n+57\geqq0 \\[4pt]&n\leqq\dfrac{57}{4}=14.25
\end{align*}
\begin{align*}
S_{14}&=\dfrac{a_1+a_{14}}{2}\Cdota14 \\[4pt]&=\dfrac{53+1}{2}\Cdota14 \\[4pt]&=54\times7=378
\end{align*}
S_{14}&=\dfrac{a_1+a_{14}}{2}\Cdota14 \\[4pt]&=\dfrac{53+1}{2}\Cdota14 \\[4pt]&=54\times7=378
\end{align*}