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二項定理を利用する入試問題2
2018年 愛知大$\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^5(x+1)^4$ を展開したとき，$x^2$ の係数は $\myhako$ であって，定数項は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
$\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^5$ と $(x+1)^4$ で分けて考えよう。それぞれの展開式の一般項は
この結果より，与式を展開したときの一般項は
$\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^5$ と $(x+1)^4$ で分けて考えよう。それぞれの展開式の一般項は
\begin{align*}
&\nCk{5}{m}(x^2)^{m}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{5-m}=\nCk{5}{m}x^{3m-5},~~\nCk{4}{n}x^n
\end{align*}
となる。ただし，$m$ は0以上5以下の整数であり，$n$ は0以上4以下の整数である。&\nCk{5}{m}(x^2)^{m}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{5-m}=\nCk{5}{m}x^{3m-5},~~\nCk{4}{n}x^n
\end{align*}
この結果より，与式を展開したときの一般項は
\begin{align*}
\nCk{5}{m}x^{3m-5}\times\nCk{4}{n}x^n=\nCk{5}{m}\Cdota\nCk{4}{n}x^{3m+n-5}
\end{align*}
であり，これが $x^2$ の項となるのは，$3m+n-5=2$ を満たすとき，すなわち $3m+n=7$ となるときである。$m,~n$ の取り得る値を考えると\nCk{5}{m}x^{3m-5}\times\nCk{4}{n}x^n=\nCk{5}{m}\Cdota\nCk{4}{n}x^{3m+n-5}
\end{align*}
\begin{align*}
(m,~n)=(2,~1),~(1,~4)
\end{align*}
の2つの場合が考えられるから，求める係数は(m,~n)=(2,~1),~(1,~4)
\end{align*}
\begin{align*}
&\nCk{5}{2}\Cdota\nCk{4}{1}+\nCk{5}{1}\Cdota\nCk{4}{4} \\[4pt]
&=10\times4+5\times1=45
\end{align*}
また，定数項になるのは $3m+n-5=0$ すなわち $3m+n=5$ を満たすときであるから，条件を満たすのは $(m,~n)=(1,~2)$ の1組のみである。よって，求める定数項は&\nCk{5}{2}\Cdota\nCk{4}{1}+\nCk{5}{1}\Cdota\nCk{4}{4} \\[4pt]
&=10\times4+5\times1=45
\end{align*}
\begin{align*}
\nCk{5}{1}\Cdota\nCk{4}{2}=5\times6=30
\end{align*}
\nCk{5}{1}\Cdota\nCk{4}{2}=5\times6=30
\end{align*}