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小数第2位の数字と二項定理
2020年 成蹊大$0.99^5$ を小数で表すと小数第2位の数字は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
空欄を埋めるだけだから，実際に $0.99^5$ を計算しても得点することができるが，あまりやりたくないだろう。
例えば $99^2$ を求めたい場合は2乗の展開公式を利用することで，次のように計算することができる。
空欄を埋めるだけだから，実際に $0.99^5$ を計算しても得点することができるが，あまりやりたくないだろう。
例えば $99^2$ を求めたい場合は2乗の展開公式を利用することで，次のように計算することができる。
\begin{align*}
99^2&=(100-1)^2 \\[4pt]
&=100^2-200+1=9801
\end{align*}
このような工夫を日常から行っていれば，同じように $0.99=1-\dfrac{1}{100}$ として計算すれば良いのではないかと気付くだろう。99^2&=(100-1)^2 \\[4pt]
&=100^2-200+1=9801
\end{align*}
\begin{align*}
0.99^5&=\left(1-\dfrac{1}{100}\right)^5 \\[4pt]
&=1-\nCk{5}{1}\Cdota\dfrac{1}{100}+\nCk{5}{2}\Cdota\left(\dfrac{1}{100}\right)^2-\nCk{5}{3}\Cdota\left(\dfrac{1}{100}\right)^3+\nCk{5}{4}\Cdota\left(\dfrac{1}{100}\right)^4-\left(\dfrac{1}{100}\right)^5 \\[4pt]
&=\dfrac{95}{100}+\dfrac{1}{10^3}-\dfrac{1}{10^5}+\dfrac{5}{10^8}-\dfrac{1}{10^{10}}
\end{align*}
ここで $\dfrac{1}{10^3}-\dfrac{1}{10^5}+\dfrac{5}{10^8}-\dfrac{1}{10^{10}}$ の部分は小数第2位には関係なく，小数第3位以下の部分の数字を表すから，0.99^5&=\left(1-\dfrac{1}{100}\right)^5 \\[4pt]
&=1-\nCk{5}{1}\Cdota\dfrac{1}{100}+\nCk{5}{2}\Cdota\left(\dfrac{1}{100}\right)^2-\nCk{5}{3}\Cdota\left(\dfrac{1}{100}\right)^3+\nCk{5}{4}\Cdota\left(\dfrac{1}{100}\right)^4-\left(\dfrac{1}{100}\right)^5 \\[4pt]
&=\dfrac{95}{100}+\dfrac{1}{10^3}-\dfrac{1}{10^5}+\dfrac{5}{10^8}-\dfrac{1}{10^{10}}
\end{align*}
\begin{align*}
0.99^5=0.95\cdots
\end{align*}
となっていることが分かる。よって，求める小数第2位の数字は5である。0.99^5=0.95\cdots
\end{align*}
下3桁の数字と二項定理
2020年 近畿大・医$3^{2020}$ の下3桁を求めよ。
【考え方と解答】
累乗数の一の位を求める問題であれば，3の累乗の一の位を順に求めていってループするカタマリを調べればよいが，下3桁となるとさすがにやってられない。そこで二項定理を利用しよう。10をうまく使えるように変形できるかどうかがポイントとなる。
累乗数の一の位を求める問題であれば，3の累乗の一の位を順に求めていってループするカタマリを調べればよいが，下3桁となるとさすがにやってられない。そこで二項定理を利用しよう。10をうまく使えるように変形できるかどうかがポイントとなる。
\begin{align*}
3^{2020}&=9^{1010}=(10-1)^{1010} \\[4pt]
&=10^{1010}-\nCk{1010}{1}\Cdota10^{1009}+\cdots-\nCk{1010}{3}\Cdota10^3+\nCk{1010}{2}\Cdota10^2-\nCk{1010}{1}\Cdota10+1 \\[4pt]
&=（1000の倍数）+50954500-10100+1
\end{align*}
したがって，求める下3桁は3^{2020}&=9^{1010}=(10-1)^{1010} \\[4pt]
&=10^{1010}-\nCk{1010}{1}\Cdota10^{1009}+\cdots-\nCk{1010}{3}\Cdota10^3+\nCk{1010}{2}\Cdota10^2-\nCk{1010}{1}\Cdota10+1 \\[4pt]
&=（1000の倍数）+50954500-10100+1
\end{align*}
\begin{align*}
500-100+1=401
\end{align*}
500-100+1=401
\end{align*}