大学入試問題で出題される円には，直線に接する円，放物線に接する円，円に接する円など，様々な円がありますが，ここでは座標軸に接する円の方程式について説明します。
円が座標軸に接するときに，何が言えるのかをしっかり理解しましょう。
Contents
座標軸に接する円
ヒロ
座標軸に接する円には，次の3パターンがある。
- $x$ 軸に接する
- $y$ 軸に接する
- $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接する
【座標軸に接する円】
$x$ 軸に接する円の方程式を考える。円の中心を $(a,~b)$，半径を $r$ とする。円の中心が第1象限または第2象限にあるときは，$r=b$ であり，第3象限または第4象限にあるときは $r=-b$ である。円の中心の位置に関係なく，$r^2=b^2$ が成り立つから，$x$ 軸に接する円の方程式は
\begin{align*}
(x-a)^2+(y-b)^2=b^2
\end{align*}
と表せる。(x-a)^2+(y-b)^2=b^2
\end{align*}
次に $y$ 軸に接する円の方程式を考える。円の中心を $(a,~b)$，半径を $r$ とする。円の中心が第1象限または第4象限にあるときは，$r=a$ であり，第2象限または第3象限にあるときは $r=-a$ である。円の中心の位置に関係なく，$r^2=a^2$ が成り立つから，$y$ 軸に接する円の方程式は
\begin{align*}
(x-a)^2+(y-b)^2=a^2
\end{align*}
と表せる。(x-a)^2+(y-b)^2=a^2
\end{align*}
最後に，両座標軸に接する円を考える。両座標軸までの距離が半径と等しくなるから，円の中心の $x$ 座標，$y$ 座標の絶対値はともに半径と等しくなる。したがって，円の方程式は
\begin{align*}
(x\pm a)^2+(y\pm a)^2=a^2~（複号任意）
\end{align*}
と表せる。$a,~b,~c,~d$ を正の数として両座標軸に接する円を4種類描くと次のようになる。(x\pm a)^2+(y\pm a)^2=a^2~（複号任意）
\end{align*}
