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【数学ⅡB】二項定理に関する入試問題【昭和薬科大・愛知大・成蹊大・近畿大】

二項定理に関する入試問題数学IAIIB
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ここでは二項定理に関連する入試問題ついて説明します。

大学入試では,二項定理を利用する問題として,展開に関する問題だけでなく,様々な問題が出題されます。

小数点以下の数字や下3桁の数字を求める問題も,二項定理を上手く使うことで解くことができます。

色々な問題を解いて,経験値を増やすことが数学力の底上げにつながるでしょう。

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二項定理を利用する入試問題

2018年 昭和薬科大$(x+2y)^7$ の $x^5y^2$ の係数は $\myhako$ であるので,$\left(x+2y+\dfrac{z}{2}\right)^{10}$ の $x^5y^2z^3$ の係数は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
前半は二項定理をそのまま使えば簡単に解けるはず。$(x+2y)^7$ の $x^5y^2$ の係数は
\begin{align*}
\nCk{7}{2}2^2=\dfrac{7\Cdot6}{2\Cdot1}\Cdota2^2=84
\end{align*}
問題文に「であるので」とあるから,前半と後半に何らかのつながりがあるはずである。よく見ると,$x+2y$ の部分と $x^5y^2$ が共通することに気付く。つまり $x+2y+\dfrac{z}{2}=(x+2y)+\dfrac{z}{2}$ と見れば良いことが分かる。$\left(x+2y+\dfrac{z}{2}\right)^{10}$ の展開式の一般項は
\begin{align*}
\nCk{10}{k}(x+2y)^{10-k}\left(\dfrac{z}{2}\right)^k~~(k=0,~1,~\cdots,~10)
\end{align*}
であり,これが $x^5y^2z^3$ の項を含むのは $k=3$ のときである。このとき
\begin{align*}
\nCk{10}{3}(x+2y)^7\left(\dfrac{z}{2}\right)^3
\end{align*}
となり,前半の問題から $(x+2y)^7$ の $x^5y^2$ の係数は84であることが分かっているから,求める $x^5y^2z^3$ の係数は
\begin{align*}
\nCk{10}{3}\Cdota84\Cdota\dfrac{1}{8}&=120\times21\times\dfrac{1}{2}=1260
\end{align*}

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