Contents
- ページ1
- 1 証明問題の主な４つのパターン
- ページ2
- 1 問題を簡単化する
- ページ3
- 1 公式を応用する
- ページ4
- 1 ３文字の対称式
- ページ5
- 1 与えられた条件をうまく使って証明しよう
- 2 まとめ
３文字の対称式
ヒロ
さて，あとは $x+y+z=a,~x^3+y^3+z^3=a^3$ の２式が成り立つことを条件として，$(x-a)(y-a)(z-a)=0$ が成り立つことを示せば良いね。
左辺を変形して右辺になることを示せば良いんですね？
ヒロ
その通り。左辺の $(x-a)(y-a)(z-a)$ を変形していって，その途中で $x+y+z=a,~x^3+y^3+z^3=a^3$ の２式を使えば０になるはず。その途中計算を誰が見ても納得するように書けば終わりだ。
ヒロ
ちなみに $(x-a)(y-a)(z-a)$ を展開する必要があるけど，展開については大丈夫なんだっけ？
項と係数に着目する展開ですよね？大丈夫です！
ヒロ
同じことを色んな人に話してるから，誰に話したか分からなくなる・・・
ヒロ
だったら，もう証明できるんじゃない？
やってみます！
\begin{align*}
\begin{cases}
x+y+z=a\ &\cdots\cdots\text{①} \\[4pt]
x^3+y^3+z^3=a^3\ &\cdots\cdots\text{②}
\end{cases}
\end{align*}
とする。ここで，\begin{cases}
x+y+z=a\ &\cdots\cdots\text{①} \\[4pt]
x^3+y^3+z^3=a^3\ &\cdots\cdots\text{②}
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
&\quad (x-a)(y-a)(z-a) \\[4pt]
&=xyz-(xy+yz+zx)a+(x+y+z)a^2-a^3 \\[4pt]
&=xyz-(xy+yz+zx)a+a^3-a^3\quad (\because \text{①}) \\[4pt]
&=xyz-(xy+yz+zx)a\ \cdots\cdots③
\end{align*}
&\quad (x-a)(y-a)(z-a) \\[4pt]
&=xyz-(xy+yz+zx)a+(x+y+z)a^2-a^3 \\[4pt]
&=xyz-(xy+yz+zx)a+a^3-a^3\quad (\because \text{①}) \\[4pt]
&=xyz-(xy+yz+zx)a\ \cdots\cdots③
\end{align*}
ここまでは出来ました。
ヒロ
あとは②を利用して，$xyz-(xy+yz+zx)a=0$ となることを示そう！３文字の３乗の和を見たらどうするんだった？
思い出しました。コレですね！
\begin{align*}
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
\end{align*}
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
\end{align*}
ヒロ
そうだね！
$x^2+y^2+z^2$ が出てくるので，これを先に処理した方が良いですね。
ヒロ
３文字の対称式の知識も大丈夫みたいだね。一応，軽く復習しておこう。
３文字 $x,~y,~z$ の基本対称式
- $x+y+z$
- $xy+yz+zx$
- $xyz$
※３文字の対称式はすべて，上の３つの基本対称式を使って表すことができる。
３文字 $x,~y,~z$ の対称式の有名な変形
- \begin{align*}x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\end{align*}
- \begin{align*}x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz\end{align*}
- \begin{align*}x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)\end{align*}
- \begin{align*}x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\end{align*}