大学入試で出題される証明問題は４つのパターンに分類される

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与えられた条件をうまく使って証明しよう

ヒロ

対称式の変形をうまく利用して，最後まで証明してみよう！

任せて下さい！

\begin{align*}
\begin{cases}
x+y+z=a\ &\cdots\cdots\text{①} \\[4pt]
x^3+y^3+z^3=a^3\ &\cdots\cdots\text{②}
\end{cases}
\end{align*}

とする。ここで，

\begin{align*}
&\quad (x-a)(y-a)(z-a) \\[4pt]
&=xyz-(xy+yz+zx)a+(x+y+z)a^2-a^3 \\[4pt]
&=xyz-(xy+yz+zx)a+a^3-a^3\quad (\because \text{①}) \\[4pt]
&=xyz-(xy+yz+zx)a\ \cdots\cdots③
\end{align*}

①より，

\begin{align*}
&(x+y+z)^2=a^2 \\[4pt]
&x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=a^2 \\[4pt]
&x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=a^2-3(xy+yz+zx)
\end{align*}

②より，

\begin{align*}
&x^3+y^3+z^3-3xyz=a^3-3xyz \\[4pt]
&(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=a^3-3xyz \\[4pt]
&a\{a^2-3(xy+yz+zx)\}=a^3-3xyz \\[4pt]
&-3a(xy+yz+zx)=-3xyz \\[4pt]
&xyz-(xy+yz+zx)a=0\ \cdots\cdots④
\end{align*}

③，④より，

\begin{align*}
(x-a)(y-a)(z-a)=0
\end{align*}

よって，$x,~y,~z$ のうち少なくとも１つは $a$ に等しい。