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等式の証明における条件式の扱い方のコツとは?

a+b+c=0 が与えられたときに考えること数学IAIIB
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等式の証明において,条件として等式が与えられた場合,その等式の扱い方にはコツがあります。

よく言われる「1本の等式が与えられたら1文字消去」というのは考え方の基本です。しかし,常に基本通りに考えるのは遠回りな場合があります。

この記事を読むことで,条件として与えられた等式の様々な扱い方を学ぶことができます。

今日扱う問題はこちら。

問題$a+b+c=0$ のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ。
\begin{align*}
&(1)\ a^2-2bc=b^2+c^2 \\[4pt]&(2)\ (a+b)(b+c)(c+a)+abc=0 \\[4pt]&(3)\ a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=0
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

とりあえず,解いてみよう!

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1次式の等式があれば1つの文字を消去できる

ヒロ
ヒロ

まずは(1)からだ。$a+b+c=0$ から1つの文字を消去できるけど,どれを消去する?

$c$ を消去します!

ヒロ
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その理由は?

こういう場合は,$c=-a-b$ として,$a,\ b$ で表すと良いんじゃないですか?

ヒロ
ヒロ

確かにどの文字を消去しても,証明できるのには変わらないけど・・・どうせなら楽になるようにしよう!

ヒロ
ヒロ

例えば $c$ を消す場合は,$c=-a-b$ を $c$ に代入することになるよね?今,証明する等式に $c$ は何か所ある?

両辺合わせて2か所です。

ヒロ
ヒロ

そうだね。$c$ を消すということはその2か所に代入しないといけないことになるね。

そうですね!

ヒロ
ヒロ

どうせ1文字を消して代入するなら,代入する箇所が少ない方が楽だと思わない?

1文字消去する場合は,個数が少ない文字を消去しよう。

なるほど!ということは $a$ を消去するってことですか?

ヒロ
ヒロ

そうなるね。$a$ は1か所しかないからね。

左辺を変形して右辺になることを示せば良いってことですね!

$a+b+c=0$ より,$a=-b-c$
\begin{align*}
(左辺)&=(-b-c)^2-2bc \\[4pt]
&=b^2+2bc+c^2-2bc \\[4pt]
&=b^2+c^2 \\[4pt]
&=(右辺)
\end{align*}
よって,$a^2-2bc=b^2+c^2$
ヒロ
ヒロ

その勢いで(2)に進もう!

2文字のカタマリを1文字で表す方法をマスターしよう

ヒロ
ヒロ

(2)を1文字消去で考えると,どれを消去するにしても面倒だなぁって思うよね?

そんな言い方をするってことは何か良い方法があるんですね!

ヒロ
ヒロ

(2) の式には,$a+b,\ b+c,\ c+a$ という2文字の和の形になってるね?今,与えられているのは,$a+b+c=0$ っていう式。ここから $a+b=-c$と変形できるよね?

それを代入してもあんまり楽になる気はしないんですけど・・・

ヒロ
ヒロ

確かに $a+b=-c$ の1つだけでは楽にはならないね。でも,$b+c=-a$, $c+a=-b$ とするとどうかな?

なるほど!3つの式を利用することで楽になるんですね。

$a+b+c=0$ より,
\begin{align*}
a+b=-c,\ b+c=-a,\ c+a=-b
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
(左辺)&=(-c)\cdot(-a)\cdot(-b)+abc \\[4pt]
&=-abc+abc \\[4pt]
&=0 \\[4pt]
&=(右辺)
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
(a+b)(b+c)(c+a)+abc=0
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

完璧だね!2つの文字のカタマリを1つの文字で表すこともあることを覚えておこう!

3つの文字の3乗の和を見たときに使う公式を知っておこう

ヒロ
ヒロ

じゃあラストの(3)をやっていこう。

(2)の説明を聞いた後なら,最初にどうするかは分かりますよ!

$a+b+c=0$ より,
\begin{align*}
a+b=-c,\ b+c=-a,\ c+a=-b
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
(左辺)&=a^2\cdot(-a)+b^2\cdot(-b)+c^2\cdot(-c)+3abc \\[4pt]&=-a^3-b^3-c^3+3abc
\end{align*}

ここまでは良いですよね?

ヒロ
ヒロ

そうだね!問題はここからだ。

ヒロ
ヒロ

3つの文字の3乗の和が来たときは,次の因数分解公式を使うことを意識しよう!

3文字の3乗の和を見たらコレ!

\begin{align*}x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\end{align*}

そのまま使えますね!

$a+b+c=0$ より,
\begin{align*}
a+b=-c,\ b+c=-a,\ c+a=-b
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
(左辺)&=a^2\cdot(-a)+b^2\cdot(-b)+c^2\cdot(-c)+3abc \\[4pt]&=-a^3-b^3-c^3+3abc \\[4pt]&=-(a^3+b^3+c^3-3abc) \\[4pt]&=-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\[4pt]&=0\quad (\because a+b+c=0)
\end{align*}
よって,
\begin{align*}a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=0\end{align*}
ヒロ
ヒロ

完璧だ!

まとめ

ヒロ
ヒロ

等式 $A=B$ を証明する際に,主に3つの方法があるのを押さえておこう!

等式 $A=B$ を証明する3つの方法
  1. $A$ か $B$ の一方を変形して,他方を導く。
  2. $A,\ B$ をそれぞれ変形して,同じ式を導く。
  3. $A-B=0$ であることを示す。
ヒロ
ヒロ

一般的に,左辺か右辺のどちらか一方のみを変形する場合は,最初の方法を選択しよう。

そりゃそうでしょ・・・

ヒロ
ヒロ

両辺を変形する場合は,2番目の方法を選択するが,多くの場合は条件が付いているため,結局は3番目の方法を選択することになる。

なんで条件が付くと,2番目の方法ではなく3番目の $A-B=0$ を示す方法を選ぶんですか?

ヒロ
ヒロ

条件が付いた等式の証明では,与えられた条件があるからこそ,等式が成り立つんだよね?

そりゃそうです・・・

ヒロ
ヒロ

逆に言えば,その条件がなければ等式は成り立たないことになる。

なに当たり前のことを言ってるんですか!?何を言いたいのかさっぱり分かりません!

ヒロ
ヒロ

まぁ落ち着け・・・つまり,こういうことだ。

$A-B=0$ を示す問題で,$C=0$ という条件が与えられた場合は,$A-B=C\times\boxed{~\hspace{4mm}\phantom{\rule[-1pt]{0cm}{7pt}}~~}$ と変形できることが多い。
ヒロ
ヒロ

当然,すべての問題で必ずそうなるという訳ではない。例えば(1)でこのことを意識すると次のような解答になる。

【(1)の別解】
\begin{align*}
&(左辺)-(右辺)=(a^2-2bc)-(b^2+c^2) \\
&=a^2-(b^2+2bc+c^2) \\
&=a^2-(b+c)^2 \\
&=(a+b+c)\{a-(b+c)\} \\
&=0\quad (\because a+b+c=0)
\end{align*}
よって,$a^2-2bc=b^2+c^2$

なるほど!0になるにはそれなりの理由があるってことですね!

等式の証明問題では,その理由が与えられた条件になると・・・そういうことですか?

ヒロ
ヒロ

そういうこと!ただ,$C=0$ を利用しようとして,$A-B=C\times\boxed{~\hspace{4mm}\phantom{\rule[-1pt]{0cm}{7pt}}~~}$ と変形することが逆に面倒なこともある。問題に応じて柔軟に考えるようにしよう!

少しパワーアップした気がします!

ヒロ
ヒロ

この調子で頑張っていこう!

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