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等式の証明における条件式の扱い方のコツとは?

a+b+c=0 が与えられたときに考えること数学IAIIB
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等式の証明において,条件として等式が与えられた場合,その等式の扱い方にはコツがあります。

よく言われる「1本の等式が与えられたら1文字消去」というのは考え方の基本です。しかし,常に基本通りに考えるのは遠回りな場合があります。

この記事を読むことで,条件として与えられた等式の様々な扱い方を学ぶことができます。

今日扱う問題はこちら。

問題$a+b+c=0$ のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ。
\begin{align*}
&(1)\ a^2-2bc=b^2+c^2 \\[4pt]
&(2)\ (a+b)(b+c)(c+a)+abc=0 \\[4pt]
&(3)\ a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=0
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

とりあえず,解いてみよう!

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1次式の等式があれば1つの文字を消去できる

ヒロ
ヒロ

まずは(1)からだ。$a+b+c=0$ から1つの文字を消去できるけど,どれを消去する?

$c$ を消去します!

ヒロ
ヒロ

その理由は?

こういう場合は,$c=-a-b$ として,$a,\ b$ で表すと良いんじゃないですか?

ヒロ
ヒロ

確かにどの文字を消去しても,証明できるのには変わらないけど・・・どうせなら楽になるようにしよう!

ヒロ
ヒロ

例えば $c$ を消す場合は,$c=-a-b$ を $c$ に代入することになるよね?今,証明する等式に $c$ は何か所ある?

両辺合わせて2か所です。

ヒロ
ヒロ

そうだね。$c$ を消すということはその2か所に代入しないといけないことになるね。

そうですね!

ヒロ
ヒロ

どうせ1文字を消して代入するなら,代入する箇所が少ない方が楽だと思わない?

1文字消去する場合は,個数が少ない文字を消去しよう。

なるほど!ということは $a$ を消去するってことですか?

ヒロ
ヒロ

そうなるね。$a$ は1か所しかないからね。

左辺を変形して右辺になることを示せば良いってことですね!

$a+b+c=0$ より,$a=-b-c$
\begin{align*}
(左辺)&=(-b-c)^2-2bc \\[4pt]&=b^2+2bc+c^2-2bc \\[4pt]&=b^2+c^2 \\[4pt]&=(右辺)
\end{align*}
よって,$a^2-2bc=b^2+c^2$
ヒロ
ヒロ

その勢いで(2)に進もう!

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