等式の証明において，条件として等式が与えられた場合，その等式の扱い方にはコツがあります。
よく言われる「1本の等式が与えられたら1文字消去」というのは考え方の基本です。しかし，常に基本通りに考えるのは遠回りな場合があります。
この記事を読むことで，条件として与えられた等式の様々な扱い方を学ぶことができます。
今日扱う問題はこちら。
問題$a+b+c=0$ のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ。
\begin{align*}
&(1)\ a^2-2bc=b^2+c^2 \\[4pt]&(2)\ (a+b)(b+c)(c+a)+abc=0 \\[4pt]&(3)\ a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=0
\end{align*}
&(1)\ a^2-2bc=b^2+c^2 \\[4pt]&(2)\ (a+b)(b+c)(c+a)+abc=0 \\[4pt]&(3)\ a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=0
\end{align*}
ヒロ
とりあえず，解いてみよう！
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Contents
１次式の等式があれば１つの文字を消去できる
ヒロ
まずは(1)からだ。$a+b+c=0$ から１つの文字を消去できるけど，どれを消去する？
$c$ を消去します！
ヒロ
その理由は？
こういう場合は，$c=-a-b$ として，$a,\ b$ で表すと良いんじゃないですか？
ヒロ
確かにどの文字を消去しても，証明できるのには変わらないけど・・・どうせなら楽になるようにしよう！
ヒロ
例えば $c$ を消す場合は，$c=-a-b$ を $c$ に代入することになるよね？今，証明する等式に $c$ は何か所ある？
両辺合わせて２か所です。
ヒロ
そうだね。$c$ を消すということはその２か所に代入しないといけないことになるね。
そうですね！
ヒロ
どうせ１文字を消して代入するなら，代入する箇所が少ない方が楽だと思わない？
なるほど！ということは $a$ を消去するってことですか？
ヒロ
そうなるね。$a$ は１か所しかないからね。
左辺を変形して右辺になることを示せば良いってことですね！
$a+b+c=0$ より，$a=-b-c$
\begin{align*}
(左辺)&=(-b-c)^2-2bc \\[4pt]
&=b^2+2bc+c^2-2bc \\[4pt]
&=b^2+c^2 \\[4pt]
&=(右辺)
\end{align*}
よって，$a^2-2bc=b^2+c^2$(左辺)&=(-b-c)^2-2bc \\[4pt]
&=b^2+2bc+c^2-2bc \\[4pt]
&=b^2+c^2 \\[4pt]
&=(右辺)
\end{align*}
ヒロ
その勢いで(2)に進もう！