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大学入試で出題される証明問題は4つのパターンに分類される

証明問題の4つのパターン数学IAIIB
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問題を簡単化する

ヒロ
ヒロ

ただ,このままでは難しいので問題を簡単化しよう。

問題が難しく感じるときは,何が問題を難しくさせているのかを考えよう。
ヒロ
ヒロ

まず,文字が3つあるのを1つ減らそう。

「$\,x,~y$ のうち少なくとも1つは $a$ に等しい」になりますね!

ヒロ
ヒロ

いいね!さらに簡単にするために,$a$ を0にしてしまおう。

「$\,x,~y$ のうち少なくとも1つは0に等しい」になります。

ヒロ
ヒロ

そうだね。じゃあこの事柄を数式で表すことを考えよう。

わからないや・・・

ヒロ
ヒロ

悩んでるね。もう少し分かりやすい文章に直してみようか?

「$\,x=0$ または $y=0$ 」ですか?

ヒロ
ヒロ

そうだね!ここからもう一歩進もう。できれば1本の等式で表そう!そして,これが意外と難しい。

同値変形「$\,x=0$ または $y=0\,$」を1本の等式で表せ。
ヒロ
ヒロ

さぁ,しっかり考えよう!

2本の等式じゃダメなんですか?

ヒロ
ヒロ

ダメだね。この逆の変形は今までに散々やってるよ?

マジか・・・

ヒロ
ヒロ

じゃあヒントを出そう。

今までに散々やってきた変形「$\,x=-2\,$ または $\,x=5\,$」となる直前の等式を1つ書け。

なるほど・・・分かりました。
「$\,(x+2)(x-5)=0\,$」ですか?

ヒロ
ヒロ

正解!文字が1種類になるとかなり簡単になることも分かったね。さっきの問題はもう出来るね?

「$\,xy=0\,$」ですね!

ヒロ
ヒロ

そうだね!$xy=0$ から $x=0$ または $y=0$ への変形は2次方程式を解くときにやってるよね?ただ,その逆は考えたことがないから難しく感じるんだ。

$「\,x=0\,または\,y=0\,」\!\!\!\iff\!\!\!「\,xy=0\,」$

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