2018年センター試験数学ⅡB 第1問指数関数・対数関数

2018年センター試験数学ⅡB 第1問指数関数・対数関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2018年センターⅡB 指数・対数関数$c$ を正の定数として，不等式

\begin{align*}
x^{\log_3x}\geqq\left(\dfrac{x}{c}\right)^3 \cdots\cdots②
\end{align*}

を考える。
　3を底とする②の両辺の対数をとり，$t=\log_3x$ とおくと

\begin{align*}
t^{~\myBox{ソ}}-\myBox{タ}~t+\mybox{タ}~\log_3c\geqq0 \cdots\cdots③
\end{align*}

となる。ただし，対数 $\log_ab$ に対し，$a$ を底といい，$b$ を真数という。
　$c=\sqrt[3]{9}$ のとき，②を満たす $x$ の値の範囲を求めよう。③により

\begin{align*}
t\leqq\myBox{チ},~t\geqq\myBox{ツ}
\end{align*}

である。さらに，真数の条件を考えて

\begin{align*}
\myBox{テ}<x\leqq\myBox{ト},~x\geqq\myBox{ナ}
\end{align*}

となる。
　次に，②が $x>\mybox{テ}$ の範囲でつねに成り立つような $c$ の値の範囲を求めよう。
　$x$ が $x>\mybox{テ}$ の範囲を動くとき，$t$ のとり得る値の範囲は $\myBox{ニ}$ である。$\myBox{ニ}$ に当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪ 正の実数全体　① 負の実数全体　② 実数全体　③ 1以外の実数全体
この範囲の $t$ に対して，③がつねに成り立つための必要十分条件は，$\log_3c\geqq\dfrac{\myBox{ヌ}}{\myBox{ネ}}$ である。すなわち，$c\geqq\sqrt[\myBox{ノ}]{\myBox{ハヒ}}$ である。

Contents

1 考え方と解答
2 2018年センター数学IIB 指数関数・対数関数を解いた感想

考え方と解答

ヒロ

問題文の誘導通りに，不等式②を対数で表そう。

【ソタの解答】
3を底とする②の両辺の対数をとると

\begin{align*}
&\log_3x^{\log_3x}\geqq\log_3\left(\dfrac{x}{c}\right)^3 \\[4pt]
&(\log_3x)^2\geqq3(\log_3x-\log_3c) \\[4pt]
&t^2-3t+3\log_3c\geqq0 \cdots\cdots③
\end{align*}

ヒロ

具体的に与えられた $c$ の値を代入して，③を解こう。

【チツの解答】
$c=\sqrt[3]{9}$ を③に代入すると

\begin{align*}
&t^2-3t+3\log_3\sqrt[3]{9}\geqq0 \\[4pt]
&t^2-3t+3\Cdota\dfrac{2}{3}\geqq0 \\[4pt]
&t^2-3t+2\geqq0 \\[4pt]
&(t-1)(t-2)\geqq0 \\[4pt]
&t\leqq1,~t\geqq2
\end{align*}