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2016年センター試験 数学ⅠA 第1問 二次関数

2016年 センター数学ⅠA 二次関数数学IAIIB
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2016年センター試験 数学ⅠA 第1問 二次関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2016年 センターⅠA 第1問 二次関数 $a$ を1以上の定数とし,$x$ についての連立不等式
\begin{align*}
\begin{cases}
x^2+(20-a^2)x-20a^2\leqq0 &\cdots\cdots① \\[4pt]
x^2+4ax\geqq0 &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
を考える。このとき,不等式①の解 $\myBox{チツテ}\leqq x\leqq a^2$ である。また,不等式②の解は $x\leqq\myBox{トナ}\,a$, $\myBox{ニ}\leqq x$ である。
 この連立不等式を満たす負の実数が存在するような $a$ の値の範囲は
\begin{align*}
1\leqq a\leqq\myBox{ヌ}
\end{align*}
である。
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考え方と解答

ヒロ
ヒロ

連立不等式を解く問題。まず①を解こう。

ヒロ
ヒロ

2次不等式を解くときは,因数分解を最初に考える。

ヒロ
ヒロ

$x$ の係数が $20-a^2$ で定数項が $-20a^2$ だから,20と $-a^2$ で因数分解できるね。

【チ~テの解答】
①より
\begin{align*}
&x^2+(20-a^2)x-20a^2\leqq0 \\[4pt]
&(x+20)(x-a^2)\leqq0  \\[4pt]
&-20\leqq x\leqq a^2
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は②を解こう。

ヒロ
ヒロ

定数項がないため,$x$ でくくるだけだね。

【ト~ニの解答】
②より
\begin{align*}
&x^2+4ax\geqq0 \\[4pt]
&x(x+4a)\geqq0 \\[4pt]
&x\leqq-4a,~0\leqq x
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後は与えられた条件を満たすように $a$ の値の範囲を求める問題。

【条件を数式化する】

 「連立不等式を満たす負の実数が存在する」とはどういうことか整理しよう。「$-20\leqq x\leqq a^2$ と $x\leqq-4a,~0\leqq x$ を同時に満たす負の実数が存在する」ということ。このままでは分かりづらいので,数直線で考えよう。
2016年 センター数学ⅠA 二次関数

2016年 センター数学ⅠA 二次関数

数直線で表した①と②の共通部分が存在して,その共通部分が負の実数を含むようにすることを考える。
 したがって,今回の場合,②の $0\leqq x$ の部分は関係なく,次の図のように,$x\leqq-4a$ の部分と①が共通部分をもつような状況を考えれば良い。
2016年 センター数学ⅠA 二次関数
 $a$ は1以上だから,$-4a$ は$-4$ 以下を動く。よって
\begin{align*}
-20\leqq-4a\leqq-4
\end{align*}
となるとき,条件を満たすことが分かる。
【ヌの解答】
条件を満たすのは
\begin{align*}
&-20\leqq-4a\leqq-4 \\[4pt]
&1\leqq a\leqq5
\end{align*}
のときである。

2016年 センター数学ⅠA 二次関数を解いた感想

ヒロ
ヒロ

連立不等式の基本的な解き方を理解していれば大丈夫だろう。

ヒロ
ヒロ

「連立不等式を満たす負の実数が存在する」の意味を数直線で考えることが重要で,落ち着いて考えれば簡単に解けるだろう。

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