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【数学ⅡB】3次式の展開【広島国際学院大・山形大】

3次式の展開数学IAIIB
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ここでは3次式の展開について説明します。

ただ展開するだけの問題は,大学入試ではほとんど出題されませんが,因数分解の基本にもなるため,自由に展開できるようにしておきましょう。

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3次式の展開公式

ヒロ
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まずは $(a+b)^3$ を展開してみよう。

【3乗の展開】
\begin{align*}
(a+b)^3&=(a+b)\Cdota(a+b)^2 \\[4pt]&=(a+b)(a^2+2ab+b^2) \\[4pt]&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\end{align*}
ヒロ
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3乗の展開は,係数が1→3→3→1と変化して,前の項 $a$ の次数は3から定数(0次)まで1ずつ下がっていき,逆に後ろの項 $b$ の次数は定数から3次まで上がっていく。

ヒロ
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この結果を利用して $(a-b)^3$ の展開してみよう。

【3乗の展開の利用】
\begin{align*}
(a-b)^3&=\{a+(-b)\}^3 \\[4pt]&=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3 \\[4pt]&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
\end{align*}
ヒロ
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$b$ の次数が奇数の項だけ符号が負になることを理解しよう。

ヒロ
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それでは,$(a+b)(a^2-ab+b^2)$ を展開してみよう。

【3次式の展開】
\begin{align*}
(a+b)(a^2-ab+b^2)&=a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2) \\[4pt]&=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3 \\[4pt]&=a^3+b^3
\end{align*}
$b$ を $-b$ にすれば,もう1つの公式も導くことができる。
\begin{align*}
(a-b)(a^2+ab+b^2)&=\{a+(-b)\}\{a^2+a(-b)+(-b)^2\} \\[4pt]&=a^3+(-b)^3=a^3-b^3
\end{align*}
ヒロ
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3次式の展開公式をまとめると次のようになる。

3次式の展開公式
  1. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
  2. $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
  3. $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
  4. $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

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