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nの階乗に含まれる素因数の個数【早稲田大・京都大・京都教育大】

nの階乗に含まれる素因数数学IAIIB
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ここではnの階乗に含まれる素因数の個数に関する問題について説明します。

「末尾に続く0の個数を求める方法」について説明した記事がありますが,ここではもう少し難しい問題を扱うことにします。

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nの階乗に含まれる素因数の個数【福岡大】

ヒロ
ヒロ

まずはウォーミングアップをしよう。

2019年 福岡大$2133!$ を素因数分解したときの素因数17の個数は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
空欄を埋めるだけの問題なので,サクサク計算できるようにしておこう。求める個数を計算すると
\begin{align*}
\gauss{\dfrac{2133}{17}}+\gauss{\dfrac{2133}{17^2}}&=125+7 \\[4pt]
&=132
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

解答を見ても計算方法を思い出せない場合は「末尾に続く0の個数を求める方法」を読んで復習しよう。

nの階乗に含まれる素因数の個数2【早稲田大】

2018年 早稲田大$p$ を素数とする。$(p^2-1)!$ が $p^4$ で割り切れないとき,$p$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
$\dfrac{p^2-1}{p^2}<1$ であるから,$(p^2-1)!$ がもつ素因数 $p$ の個数は
\begin{align*} \gauss{\dfrac{p^2-1}{p}}&=\gauss{p-\dfrac{1}{p}} \\[4pt] &=p-1 \end{align*}
$p-1\geqq4$ のときは $(p^2-1)!$ は $p^4$ で割り切れるから,$(p^2-1)!$ が $p^4$ で割り切れないのは $p-1\leqq3$ のときである。$p$ は素数であるから,$p=2,~3$

nの階乗に含まれる素因数の個数3【京都大】

2009年 京都大$p$ を素数,$n$ を正の整数とするとき,$(p^n)!$ は $p$ で何回割り切れるか。
【考え方と解答】
$(p^n)!$ 以下の正の整数で $p^k$ で割り切れるものの個数は $\dfrac{p^n}{p^k}$ と表せる。
$(p^n)!$ の素因数 $p$ の個数は,$p^n$ 以下の正の整数のうち $p^k~(k=1,~2,~\cdots,~n)$ で割り切れるものの個数の総和で得られるから,求める回数は
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}\dfrac{p^n}{p^k}
=\dfrac{p^{n-1}\left\{1-\left(\dfrac1p\right)^n\right\}}{1-\dfrac1p}
=\dfrac{p^n-1}{p-1}
\end{align*}

nの階乗に含まれる素因数の個数4【京都教育大】

2018年 京都教育大次の問に答えよ。
(1) 本小問の問題文においては,算用数字(アラビア数字)で表された数は,五進法で表されたものとする。$100!$ を五進法で表したとき,末尾に何個の0が並ぶか求めよ。なお,解答中の算用数字が,五進法なのか十進法なのか,わかるようにすること。
(2) 本小問の問題文においては,算用数字(アラビア数字)で表された数は,六進法で表されたものとする。$100!$ を五進法で表したとき,末尾に何個の0が並ぶか求めよ。なお,解答中の算用数字が,六進法なのか十進法なのか,わかるようにすること。
ヒロ
ヒロ

2進法で表したときの末尾に並ぶ0の個数の求め方」を理解できていれば,この問題も大丈夫かもしれない。

ヒロ
ヒロ

上の記事の内容を一般化することで,次のことが言える。

末尾に並ぶ0の個数自然数 $N$ を $p$ 進法で表したとき,末尾に $n$ 個の⓪が並ぶのは,$p$ の倍数でない自然数 $M$ を用いて
\begin{align*}
N=Mp^n
\end{align*}
と表されるときである。
【(1)の考え方と解答】
五進法で表された数を十進法に直して考えよう。
五進法の $100!$ は十進法では $25!$ を表す。
25以下の自然数のうち,5の倍数は5個,$5^2$ の倍数は1個,$5^k~(k\geqq3)$ の倍数はないから,$25!$ を素因数分解したときの5の指数は
\begin{align*}
5+1=6
\end{align*}
である。
したがって,五進法の $100!$ の末尾には6個の0が並ぶ。

(2) 本小問の問題文においては,算用数字(アラビア数字)で表された数は,六進法で表されたものとする。100!を五進法で表したとき,末尾に何個の0が並ぶか求めよ。なお,解答中の算用数字が,六進法なのか十進法なのか,わかるようにすること。

【(2)の考え方と解答】
六進法の $100!$ は十進法では $36!$ を表す。6の倍数でない自然数を $M$ として
\begin{align*}
36!=m\Cdota6^n
\end{align*}
と表されるとすると,$36!$ を六進法で表したときに末尾に0が $n$ 個並ぶ。
 $36!$ を素因数分解したときの2と3の指数を考えると,明らかに3の指数の方が小さいから,その指数が $n$ であり,求めるべき末尾に並ぶ0の個数である。
 36以下の自然数のうち,3の倍数は12個, $3^2$ の倍数は4個,$3^3$ の倍数は1個,$3^k~(k\geqq4)$ の倍数はないから,$36!$ を素因数分解したときの3の指数は
\begin{align*}
12+4+1=17
\end{align*}
である。
したがって,六進法の $100!$ の末尾には17個の0が並ぶ。
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