ここではnの階乗に含まれる素因数の個数に関する問題について説明します。
「末尾に続く0の個数を求める方法」について説明した記事がありますが，ここではもう少し難しい問題を扱うことにします。
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nの階乗に含まれる素因数の個数【福岡大】
ヒロ
まずはウォーミングアップをしよう。
2019年 福岡大$2133!$ を素因数分解したときの素因数17の個数は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
空欄を埋めるだけの問題なので，サクサク計算できるようにしておこう。求める個数を計算すると
空欄を埋めるだけの問題なので，サクサク計算できるようにしておこう。求める個数を計算すると
\begin{align*}
\gauss{\dfrac{2133}{17}}+\gauss{\dfrac{2133}{17^2}}&=125+7 \\[4pt]
&=132
\end{align*}
\gauss{\dfrac{2133}{17}}+\gauss{\dfrac{2133}{17^2}}&=125+7 \\[4pt]
&=132
\end{align*}
ヒロ
解答を見ても計算方法を思い出せない場合は「末尾に続く0の個数を求める方法」を読んで復習しよう。
nの階乗に含まれる素因数の個数2【早稲田大】
2018年 早稲田大$p$ を素数とする。$(p^2-1)!$ が $p^4$ で割り切れないとき，$p$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
$\dfrac{p^2-1}{p^2}<1$ であるから，$(p^2-1)!$ がもつ素因数 $p$ の個数は
$\dfrac{p^2-1}{p^2}<1$ であるから，$(p^2-1)!$ がもつ素因数 $p$ の個数は
\begin{align*} \gauss{\dfrac{p^2-1}{p}}&=\gauss{p-\dfrac{1}{p}} \\[4pt] &=p-1 \end{align*}
$p-1\geqq4$ のときは $(p^2-1)!$ は $p^4$ で割り切れるから，$(p^2-1)!$ が $p^4$ で割り切れないのは $p-1\leqq3$ のときである。$p$ は素数であるから，$p=2,~3$nの階乗に含まれる素因数の個数3【京都大】
2009年 京都大$p$ を素数，$n$ を正の整数とするとき，$(p^n)!$ は $p$ で何回割り切れるか。
【考え方と解答】
$(p^n)!$ 以下の正の整数で $p^k$ で割り切れるものの個数は $\dfrac{p^n}{p^k}$ と表せる。
$(p^n)!$ の素因数 $p$ の個数は，$p^n$ 以下の正の整数のうち $p^k~(k=1,~2,~\cdots,~n)$ で割り切れるものの個数の総和で得られるから，求める回数は
$(p^n)!$ 以下の正の整数で $p^k$ で割り切れるものの個数は $\dfrac{p^n}{p^k}$ と表せる。
$(p^n)!$ の素因数 $p$ の個数は，$p^n$ 以下の正の整数のうち $p^k~(k=1,~2,~\cdots,~n)$ で割り切れるものの個数の総和で得られるから，求める回数は
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}\dfrac{p^n}{p^k}
=\dfrac{p^{n-1}\left\{1-\left(\dfrac1p\right)^n\right\}}{1-\dfrac1p}
=\dfrac{p^n-1}{p-1}
\end{align*}
\Sum{k=1}{n}\dfrac{p^n}{p^k}
=\dfrac{p^{n-1}\left\{1-\left(\dfrac1p\right)^n\right\}}{1-\dfrac1p}
=\dfrac{p^n-1}{p-1}
\end{align*}
nの階乗に含まれる素因数の個数4【京都教育大】
2018年 京都教育大次の問に答えよ。
(1) 本小問の問題文においては，算用数字（アラビア数字）で表された数は，五進法で表されたものとする。$100!$ を五進法で表したとき，末尾に何個の0が並ぶか求めよ。なお，解答中の算用数字が，五進法なのか十進法なのか，わかるようにすること。
(2) 本小問の問題文においては，算用数字（アラビア数字）で表された数は，六進法で表されたものとする。$100!$ を五進法で表したとき，末尾に何個の0が並ぶか求めよ。なお，解答中の算用数字が，六進法なのか十進法なのか，わかるようにすること。
(1) 本小問の問題文においては，算用数字（アラビア数字）で表された数は，五進法で表されたものとする。$100!$ を五進法で表したとき，末尾に何個の0が並ぶか求めよ。なお，解答中の算用数字が，五進法なのか十進法なのか，わかるようにすること。
(2) 本小問の問題文においては，算用数字（アラビア数字）で表された数は，六進法で表されたものとする。$100!$ を五進法で表したとき，末尾に何個の0が並ぶか求めよ。なお，解答中の算用数字が，六進法なのか十進法なのか，わかるようにすること。
ヒロ
「2進法で表したときの末尾に並ぶ0の個数の求め方」を理解できていれば，この問題も大丈夫かもしれない。
ヒロ
上の記事の内容を一般化することで，次のことが言える。
末尾に並ぶ0の個数自然数 $N$ を $p$ 進法で表したとき，末尾に $n$ 個の⓪が並ぶのは，$p$ の倍数でない自然数 $M$ を用いて
\begin{align*}
N=Mp^n
\end{align*}
と表されるときである。N=Mp^n
\end{align*}
【(1)の考え方と解答】
五進法で表された数を十進法に直して考えよう。
五進法の $100!$ は十進法では $25!$ を表す。
25以下の自然数のうち，5の倍数は5個，$5^2$ の倍数は1個，$5^k~(k\geqq3)$ の倍数はないから，$25!$ を素因数分解したときの5の指数は
したがって，五進法の $100!$ の末尾には6個の0が並ぶ。
五進法で表された数を十進法に直して考えよう。
五進法の $100!$ は十進法では $25!$ を表す。
25以下の自然数のうち，5の倍数は5個，$5^2$ の倍数は1個，$5^k~(k\geqq3)$ の倍数はないから，$25!$ を素因数分解したときの5の指数は
\begin{align*}
5+1=6
\end{align*}
である。5+1=6
\end{align*}
したがって，五進法の $100!$ の末尾には6個の0が並ぶ。
(2) 本小問の問題文においては，算用数字（アラビア数字）で表された数は，六進法で表されたものとする。100!を五進法で表したとき，末尾に何個の0が並ぶか求めよ。なお，解答中の算用数字が，六進法なのか十進法なのか，わかるようにすること。
【(2)の考え方と解答】
六進法の $100!$ は十進法では $36!$ を表す。6の倍数でない自然数を $M$ として
$36!$ を素因数分解したときの2と3の指数を考えると，明らかに3の指数の方が小さいから，その指数が $n$ であり，求めるべき末尾に並ぶ0の個数である。
36以下の自然数のうち，3の倍数は12個， $3^2$ の倍数は4個，$3^3$ の倍数は1個，$3^k~(k\geqq4)$ の倍数はないから，$36!$ を素因数分解したときの3の指数は
したがって，六進法の $100!$ の末尾には17個の0が並ぶ。
六進法の $100!$ は十進法では $36!$ を表す。6の倍数でない自然数を $M$ として
\begin{align*}
36!=m\Cdota6^n
\end{align*}
と表されるとすると，$36!$ を六進法で表したときに末尾に0が $n$ 個並ぶ。36!=m\Cdota6^n
\end{align*}
$36!$ を素因数分解したときの2と3の指数を考えると，明らかに3の指数の方が小さいから，その指数が $n$ であり，求めるべき末尾に並ぶ0の個数である。
36以下の自然数のうち，3の倍数は12個， $3^2$ の倍数は4個，$3^3$ の倍数は1個，$3^k~(k\geqq4)$ の倍数はないから，$36!$ を素因数分解したときの3の指数は
\begin{align*}
12+4+1=17
\end{align*}
である。12+4+1=17
\end{align*}
したがって，六進法の $100!$ の末尾には17個の0が並ぶ。