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【数学IA】1次不定方程式の自然数解の個数【中京大・明治薬科大】

1次不定方程式の自然数解の個数数学IAIIB
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ここでは1次不定方程式の整数解の個数に関する問題について説明します。

1次不定方程式の解法については,次の記事を読んでください。

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不定方程式の整数解の個数を求める問題

2019年 中京大1次不定方程式 $43x+16y=1$ の整数解の組のうち,$0\leqq x\leqq100$ を満たすものは $\myhako$ 組ある。
【考え方と解答】
ユークリッドの互除法を利用する。
\begin{align*}
&43=16\times2+11 \\[4pt]&16=11\times1+5 \\[4pt]&11=5\times2+1
\end{align*}
これらの計算から
\begin{align*}
1&=11-5\times2 \\[4pt]&=11-(16-11)\times2 \\[4pt]&=11\times3-16\times2 \\[4pt]&=(43-16\times2)\times3-16\times2 \\[4pt]&=43\times3+16\times(-8)
\end{align*}
$43x+16y=1$ と辺々ごとに差をとって
\begin{align*}
43(x-3)+16(y+8)=0
\end{align*}
43と16は互いに素であるから,整数 $k$ を用いて
\begin{align*}
&x-3=16k \\[4pt]&x=16k+3
\end{align*}
と表せる。$0\leqq x\leqq100$ より
\begin{align*}
&0\leqq16k+3\leqq100
\end{align*}
これを満たす整数 $k$ は
\begin{align*}
k=0,~1,~2,~\cdots,~6
\end{align*}
であるから,求める $(x,~y)$ の組数は7である。

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