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積分公式の復習
ヒロ
まずは教科書にも載っている積分公式の証明をしよう。
問題次の等式を証明せよ。
\begin{align*}
\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\;dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{align*}
\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\;dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{align*}
ヒロ
何も考えず展開して各項を積分するのではなく，$x-\alpha$ というカタマリを作る工夫をすることで楽に計算できるようにしよう。
\begin{align*}
&\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\;dx \\[4pt]
&=\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)\{(x-\alpha)+(\alpha-\beta)\}\,dx \\[4pt]
&=\dint{\alpha}{\beta}\{(x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\}\,dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac13(x-\alpha)^3+\dfrac12(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2}{\alpha}{\beta} \\[4pt]
&=\dfrac13(\beta-\alpha)^3-\dfrac12(\beta-\alpha)^3 \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{align*}
&\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\;dx \\[4pt]
&=\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)\{(x-\alpha)+(\alpha-\beta)\}\,dx \\[4pt]
&=\dint{\alpha}{\beta}\{(x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\}\,dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac13(x-\alpha)^3+\dfrac12(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2}{\alpha}{\beta} \\[4pt]
&=\dfrac13(\beta-\alpha)^3-\dfrac12(\beta-\alpha)^3 \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{align*}
ヒロ
この証明では，数学IIIで学習する次の公式を使っているよ。
積分公式
ヒロ
文系だから別に覚えなくていいやって思わないように。今では多くのセンター対策の参考書にも載っているので，使いこなせるようにした方が良いだろうね。
ヒロ
数学IIIを学習している人は，部分積分で処理するのが速いだろう。
\begin{align*}
&\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^2(x-\beta)}{\alpha}{\beta}-\dint{\alpha}{\beta}\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^2\;dx \\[4pt]
&=\Tint{-\dfrac{1}{6}(x-\alpha)^3}{\alpha}{\beta} \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{align*}
&\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^2(x-\beta)}{\alpha}{\beta}-\dint{\alpha}{\beta}\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^2\;dx \\[4pt]
&=\Tint{-\dfrac{1}{6}(x-\alpha)^3}{\alpha}{\beta} \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{align*}