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2006年 静岡理工科大
2006年 静岡理工科大$\left(6^{\frac{2}{3}}+6^{-\frac{2}{3}}+1\right)\left(6^{\frac{1}{3}}-6^{-\frac{1}{3}}\right)$ を計算すると $\myhako$ となる。
【考え方と解答】
展開するだけだから，1つずつ掛けるだけだと思って計算し始めるのは辞めよう。
$6^{\frac{2}{3}}=(6^{\frac{1}{3}})^2$ であることに着目しよう。
分かりやすくするために文字で置き換えることにする。
$6^{\frac{1}{3}}=a,~6^{-\frac{1}{3}}=b$ とおくと，$ab=1$ となるから
展開するだけだから，1つずつ掛けるだけだと思って計算し始めるのは辞めよう。
$6^{\frac{2}{3}}=(6^{\frac{1}{3}})^2$ であることに着目しよう。
分かりやすくするために文字で置き換えることにする。
$6^{\frac{1}{3}}=a,~6^{-\frac{1}{3}}=b$ とおくと，$ab=1$ となるから
\begin{align*}
(与式)&=(a^2+b^2+ab)(a-b) \\[4pt]
&=a^3-b^3 \\[4pt]
&=6^1-6^{-1}=6-\dfrac{1}{6} \\[4pt]
&=\dfrac{35}{6}
\end{align*}
(与式)&=(a^2+b^2+ab)(a-b) \\[4pt]
&=a^3-b^3 \\[4pt]
&=6^1-6^{-1}=6-\dfrac{1}{6} \\[4pt]
&=\dfrac{35}{6}
\end{align*}
ヒロ
置き換えずにサクサクできるようになろう。
2019年 北海学園大
2019年 北海学園大$a>0$ とする。$a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{3}{4}}=10$ のとき，$a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}$ と $a^3+a^{-3}$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
$(a^{\frac{3}{4}})^2=a^{\frac{3}{2}}$ であることを考えて，うまく式変形して値を求めよう。
$a^{\frac{3}{4}}=t$ とおくと，$a^{-\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{t}$ となるから，与えられた等式は
$(a^{\frac{3}{4}})^2=a^{\frac{3}{2}}$ であることを考えて，うまく式変形して値を求めよう。
$a^{\frac{3}{4}}=t$ とおくと，$a^{-\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{t}$ となるから，与えられた等式は
\begin{align*}
t+\dfrac{1}{t}=10
\end{align*}
となる。$a^{\frac{3}{2}}=t^2$ であるからt+\dfrac{1}{t}=10
\end{align*}
\begin{align*}
a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}&=t^2+\dfrac{1}{t^2} \\[4pt]
&=\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^2-2 \\[4pt]
&=100-2=98
\end{align*}
また，$a^3=(a^{\frac{3}{2}})^2=t^4$ であるからa^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}&=t^2+\dfrac{1}{t^2} \\[4pt]
&=\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^2-2 \\[4pt]
&=100-2=98
\end{align*}
\begin{align*}
a^3+a^{-3}&=t^4+\dfrac{1}{t^4} \\[4pt]
&=\left(t^2+\dfrac{1}{t^2}\right)^2-2 \\[4pt]
&=98^2-2=9602
\end{align*}
a^3+a^{-3}&=t^4+\dfrac{1}{t^4} \\[4pt]
&=\left(t^2+\dfrac{1}{t^2}\right)^2-2 \\[4pt]
&=98^2-2=9602
\end{align*}
指数で表された式の変形
ヒロ
対称式の変形と同じように，指数で表された式の有名な変形を難なくできるようにしよう。
指数で表された式の変形
- $a^{2x}+a^{-2x}=(a^x+a^{-x})^2-2$
- $(a^{x}-a^{-x})^2=(a^x+a^{-x})^2-4$
-