Contents
2006年 静岡理工科大
2006年 静岡理工科大(623+6−23+1)(613−6−13) を計算すると \myhako となる。
【考え方と解答】
展開するだけだから，1つずつ掛けるだけだと思って計算し始めるのは辞めよう。
6^{\frac{2}{3}}=(6^{\frac{1}{3}})^2 であることに着目しよう。
分かりやすくするために文字で置き換えることにする。
6^{\frac{1}{3}}=a,~6^{-\frac{1}{3}}=b とおくと，ab=1 となるから
展開するだけだから，1つずつ掛けるだけだと思って計算し始めるのは辞めよう。
6^{\frac{2}{3}}=(6^{\frac{1}{3}})^2 であることに着目しよう。
分かりやすくするために文字で置き換えることにする。
6^{\frac{1}{3}}=a,~6^{-\frac{1}{3}}=b とおくと，ab=1 となるから
\begin{align*} (与式)&=(a^2+b^2+ab)(a-b) \\[4pt] &=a^3-b^3 \\[4pt] &=6^1-6^{-1}=6-\dfrac{1}{6} \\[4pt] &=\dfrac{35}{6} \end{align*}
ヒロ
置き換えずにサクサクできるようになろう。
2019年 北海学園大
2019年 北海学園大a>0 とする。a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{3}{4}}=10 のとき，a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}} と a^3+a^{-3} の値を求めよ。
【考え方と解答】
(a^{\frac{3}{4}})^2=a^{\frac{3}{2}} であることを考えて，うまく式変形して値を求めよう。
a^{\frac{3}{4}}=t とおくと，a^{-\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{t} となるから，与えられた等式は
(a^{\frac{3}{4}})^2=a^{\frac{3}{2}} であることを考えて，うまく式変形して値を求めよう。
a^{\frac{3}{4}}=t とおくと，a^{-\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{t} となるから，与えられた等式は
\begin{align*} t+\dfrac{1}{t}=10 \end{align*}
となる。a^{\frac{3}{2}}=t^2 であるから\begin{align*} a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}&=t^2+\dfrac{1}{t^2} \\[4pt] &=\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^2-2 \\[4pt] &=100-2=98 \end{align*}
また，a^3=(a^{\frac{3}{2}})^2=t^4 であるから\begin{align*} a^3+a^{-3}&=t^4+\dfrac{1}{t^4} \\[4pt] &=\left(t^2+\dfrac{1}{t^2}\right)^2-2 \\[4pt] &=98^2-2=9602 \end{align*}
指数で表された式の変形
ヒロ
対称式の変形と同じように，指数で表された式の有名な変形を難なくできるようにしよう。
指数で表された式の変形
- a^{2x}+a^{-2x}=(a^x+a^{-x})^2-2
- (a^{x}-a^{-x})^2=(a^x+a^{-x})^2-4
-