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【数学ⅡB】指数で表された式の値【東洋大・星薬科大・福岡大・静岡理工科大】

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指数で表された式の値数学IAIIB

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2016年 星薬科大

2016年 星薬科大$3^{2x}=7$ のとき,$\dfrac{3^{3x}+3^{-3x}}{(3^x+3^{-x})^3}=\dfrac{\myhako}{\myhako}$ である。
【考え方と解答】
$3^{2x}=7$ をうまく利用しよう。
\begin{align*}
\dfrac{3^{3x}+3^{-3x}}{(3^x+3^{-x})^3}&=\dfrac{(3^{3x}+3^{-3x})\Cdot3^{3x}}{(3^x+3^{-x})^3\Cdot3^{3x}} \\[4pt]
&=\dfrac{3^{6x}+1}{(3^{2x}+1)^3} \\[4pt]
&=\dfrac{7^3+1}{(7+1)^3}=\dfrac{344}{512} \\[4pt]
&=\dfrac{43}{64}
\end{align*}

2019年 福岡大

2019年 福岡大$3^x-3^{-x}=4$ のとき,$3^x+3^{-x}$ の値は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
対称式と交代式の考え方を利用しよう。
この問題では,$3^x=a,~3^{-x}=b$ とおくと,次の問題に書き換えることができる。
 「$a-b=4,~ab=1$ のとき,$a+b$ の値を求めよ。」
条件が交代式で与えられたときに,対称式の値を求める問題になる。交代式の2乗が対称式になることを利用する。具体的に $a-b$ を2乗すると
\begin{align*}
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\end{align*}
となり,これは $a$ と $b$ の対称式になっている。つまり,$(a-b)^2$ は次のように $a+b,~ab$ で表せる。
\begin{align*}
&(a-b)^2=(a+b)^2-4ab
\end{align*}
この式変形については,特に考えることなくできるようにしておくと良いだろう。上の式に $a-b=4,~ab=1$ を代入すると
\begin{align*}
&4^2=(a+b)^2-4\Cdota1 \\[4pt]&(a+b)^2=20 \\[4pt]&a+b=\pm2\sqrt{5}
\end{align*}
$3^x>0,~3^{-x}>0$ より $a+b>0$ であるから,$a+b=2\sqrt{5}$
よって,$3^x+3^{-x}=2\sqrt{5}$
ヒロ
ヒロ

この問題では,空欄を埋める問題なので速くて正確ならどんな方法で解いても良いが,記述式の場合,置き換える方法は面倒に感じるだろう。

ヒロ
ヒロ

記述式試験を考慮するなら,置き換えずにそのまま解けるようにした方が良い。

【置き換えずに解く】
$(a-b)^2$ を $(a+b)^2,~ab$ で表したことから,$(a+b)^2$ を $(a-b)^2,~ab$ で表せることも分かるから,次のように変形できるようになると良い。
\begin{align*}
(3^x+3^{-x})^2&=(3^x-3^{-x})^2+4 \\[4pt]&=4^2+4=20
\end{align*}
$3^x+3^{-x}>0$ であるから,$3^x+3^{-x}=2\sqrt{5}$

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