休校だからこそ重要な自宅学習

【数学Ⅰ】定期テストに出題される分母を有理化する問題

【数学Ⅰ】定期テストに出題される分母を有理化する問題数学IAIIB
スポンサーリンク

中学校で学習する分母を有理化する問題は,比較的簡単な問題でしたが,それと比べると高校で学習する分母を有理化する問題は当然ですが少し難しくなっています。

分母を有理化する問題は大学入試の小問集合でも出題されるため,絶対落とせない問題の1つと言えます。

分母を有理化する問題が定期テストや入試で出題されたときに,確実に得点できるように,しっかりと理解しておきましょう。

スポンサーリンク

分母の有理化

ヒロ
ヒロ

中学校のときに習ったように,分数で表された数において,分母を有理数にすることを分母の有理化というんだったね。

分母の有理化$\dfrac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}$ の分母を有理化するときは,分母分子に $\sqrt{a}$ をかければ良い。
\begin{align*}
\dfrac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}&=\dfrac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}\times\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \\[4pt]
&=\dfrac{b\sqrt{ca}}{a}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

このように,分母が1つの項だと簡単に分母の有理化ができる。

ヒロ
ヒロ

分母が2つの項の場合は,$a\sqrt{b}$ の形の無理数を2乗すると有理数になることから,2乗の差を作るように変形しよう。

分母の有理化Ⅱ$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ の分母を有理化するときは,分母分子に $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ をかければ良い。
\begin{align*}
\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}&=\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\times\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

分母が有理数になる理由を理解することで丸暗記を避けることができるはず。

定期テストで実際に出題された分母を有理化する問題

ヒロ
ヒロ

高校1年の1学期中間テストに実際に出題された分母を有理化する問題を解いていこう。

分母を有理化する問題1

分母の有理化次の式の分母を有理化せよ。
(1) $\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$
(2) $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
(3) $\dfrac{2-3\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$
ヒロ
ヒロ

(1)から解いていこう。

ヒロ
ヒロ

分母分子に $\sqrt{3}-1$ をかけて有理化しよう。

【(1)の解答】
\begin{align*}
\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}&=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\times\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2} \\[4pt]
&=\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) \\[4pt]
&=3-\sqrt{3}
\end{align*}

(2) $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

ヒロ
ヒロ

次の(2)は分子が2つの項になってる問題だね。

ヒロ
ヒロ

有理化するときは分母を見て,分母分子に何をかけるかを考えよう。

ヒロ
ヒロ

(2)の場合は $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ をかければ良いけど,少し工夫した方が良いね。

【有理化する前にするべき工夫】
分母の根号の中身が偶数だから,$\sqrt{2}$ でくくれることが分かる。分子も根号の中身が偶数だから,分母と同様に $\sqrt{2}$ でくくれる。
ということは,$\sqrt{2}$ で約分できるということ。
ヒロ
ヒロ

分母の有理化をする前に,分数全体で約分できる場合は約分するようにしよう。

【(2)の解答】
\begin{align*}
\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}&=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\times\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^2}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2} \\[4pt]
&=2-\sqrt{3}
\end{align*}

(3) $\dfrac{2-3\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$

ヒロ
ヒロ

(3)も分母分子に $2-\sqrt{2}$ を掛ける前に工夫できないかを考えよう。

ヒロ
ヒロ

根号内だけに着目するのではなく,$2=(\sqrt{2})^2$ であることを意識することで $\sqrt{2}$ で約分できる式であることが分かるようになる。

【(3)の解答】
\begin{align*}
\dfrac{2-3\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}&=\dfrac{\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}+1} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}+1}\times\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} \\[4pt]
&=(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-1) \\[4pt]
&=5-4\sqrt{2}
\end{align*}

分母を有理化する問題2

分母の有理化2次の式の分母を有理化せよ。
(1) $\dfrac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$
(2) $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$
(3) $\dfrac{4}{2+\sqrt{2}+\sqrt{6}}$
ヒロ
ヒロ

分母が3つの項になっている場合は,2つの項を1つと見て有理化しよう。

どの2つの項を1つと見れば良いとかってありますか?

ヒロ
ヒロ

例えば分母が $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ となっていたとして,$a+b=c$ なら $(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{c}$ のように $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ を1つと見て有理化しよう。

今回の場合は $(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}$ と見れば良いんですね!

ヒロ
ヒロ

そうだね。

【(1)の解答】
\begin{align*}
&\dfrac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{(1+\sqrt{5})+\sqrt{6}}\times\dfrac{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})-\sqrt{6}} \\[4pt]
&=\dfrac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})^2-6} \\[4pt]
&=\dfrac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}} \\[4pt]
&=\dfrac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}\times\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{10}
\end{align*}

(2) $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$

ヒロ
ヒロ

(2)は $2=\sqrt{4}$ と見れば組み合わせが分かるね。

$(2+\sqrt{3})+\sqrt{7}$ と見れば良いんですね!

ヒロ
ヒロ

そうだね。有理化しよう。

【(2)の解答】
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{(2+\sqrt{3})+\sqrt{7}}\times\dfrac{(2+\sqrt{3})-\sqrt{7}}{(2+\sqrt{3})-\sqrt{7}} \\[4pt]
&=\dfrac{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}{(2+\sqrt{3})^2-7} \\[4pt]
&=\dfrac{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}{4\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}{4\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{3}+3-\sqrt{21}}{12}
\end{align*}

(3) $\dfrac{4}{2+\sqrt{2}+\sqrt{6}}$

ヒロ
ヒロ

(3)はパッと見たとき偶数が目に付くね。

まずは約分ですね!

ヒロ
ヒロ

そうだね。計算していこう。

【(3)の解答】
\begin{align*}
&\dfrac{4}{2+\sqrt{2}+\sqrt{6}} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1+\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1+\sqrt{3}}\times\dfrac{(\sqrt{2}+1)-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+1)^2-3} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1-\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} \\[4pt]
&=1+\sqrt{2}-\sqrt{3}
\end{align*}

分母を有理化する問題3

分母の有理化3次の式の分母を有理化せよ。
(1) $\dfrac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
(2) $\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
(3) $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

見るだけでやる気が出ないような式ですね・・・

ヒロ
ヒロ

頑張って計算していこう。

ヒロ
ヒロ

分子に惑わされずに分母を見て1つのものと見るカタマリを探そう。

【(1)の解答】
\begin{align*}
&\dfrac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times\dfrac{(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}}
\end{align*}

先生・・・分子の計算が面倒です・・・

ヒロ
ヒロ

これも組み合わせを考えてうまく展開しよう。

【展開するときに考える組み合わせ】
符号だけが異なる2つの式の積を展開するときは,○×法で組み合わせを決めよう。
まず同符号には○印,異符号には×印をつけて分類する。
\begin{align*}
(\stackrel{\circ}{1}+\stackrel{\times}{\sqrt{2}}-\stackrel{\circ}{\sqrt{3}})(\stackrel{\circ}{1}
-\stackrel{\times}{\sqrt{2}}-\stackrel{\circ}{\sqrt{3}})
\end{align*}
次に同じ印どうしを組み合わせれば,2乗の差の展開公式を利用できるようになる。
\begin{align*}
&(\stackrel{\circ}{1}+\stackrel{\times}{\sqrt{2}}-\stackrel{\circ}{\sqrt{3}})(\stackrel{\circ}{1}
-\stackrel{\times}{\sqrt{2}}-\stackrel{\circ}{\sqrt{3}}) \\[4pt]
&=\{(\stackrel{\circ}{1}-\stackrel{\circ}{\sqrt{3}})+\stackrel{\times}{\sqrt{2}}\}\{(\stackrel{\circ}{1}
-\stackrel{\circ}{\sqrt{3}})-\stackrel{\times}{\sqrt{2}}\} \\[4pt]
&=(1-\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 \\[4pt]
&=4-2\sqrt{3}-2 \\[4pt]
&=2-2\sqrt{3}
\end{align*}

なるほど。楽ですね!

ヒロ
ヒロ

では解答の続きに戻ろう。

【(1)の解答の続き】
\begin{align*}
(与式)&=\dfrac{\{(1-\sqrt{3})+\sqrt{2}\}\{(1-\sqrt{3})-\sqrt{2}\}}{(1-\sqrt{2})^2-3} \\[4pt]
&=\dfrac{2-2\sqrt{3}}{-2\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
\end{align*}

(2) $\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

ヒロ
ヒロ

分子に惑わされずに有理化しよう。

【(2)の解答】
\begin{align*}
&\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}\times\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}} \\[4pt]
&=\dfrac{\{(\sqrt{2}-\sqrt{5})+\sqrt{3}\}\{(\sqrt{2}-\sqrt{5})-\sqrt{3}\}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2-3}{5-2\sqrt{6}-5} \\[4pt]
&=\dfrac{4-2\sqrt{10}}{-2\sqrt{6}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}
\end{align*}

(3) $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

ヒロ
ヒロ

最後の1問を頑張ろう。

【(3)の解答】
\begin{align*}
&\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}\times\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2} \\[4pt]
&=\dfrac{9+2\sqrt{14}-5}{7+2\sqrt{10}-7} \\[4pt]
&=\dfrac{4+2\sqrt{14}}{2\sqrt{10}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{35}}{5}
\end{align*}
タイトルとURLをコピーしました