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【数学ⅡB】指数で表された式の値【東洋大・星薬科大・福岡大・静岡理工科大】

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指数で表された式の値数学IAIIB

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2006年 静岡理工科大

2006年 静岡理工科大$\left(6^{\frac{2}{3}}+6^{-\frac{2}{3}}+1\right)\left(6^{\frac{1}{3}}-6^{-\frac{1}{3}}\right)$ を計算すると $\myhako$ となる。
【考え方と解答】
展開するだけだから,1つずつ掛けるだけだと思って計算し始めるのは辞めよう。
$6^{\frac{2}{3}}=(6^{\frac{1}{3}})^2$ であることに着目しよう。
分かりやすくするために文字で置き換えることにする。
$6^{\frac{1}{3}}=a,~6^{-\frac{1}{3}}=b$ とおくと,$ab=1$ となるから
\begin{align*}
(与式)&=(a^2+b^2+ab)(a-b) \\[4pt]
&=a^3-b^3 \\[4pt]
&=6^1-6^{-1}=6-\dfrac{1}{6} \\[4pt]
&=\dfrac{35}{6}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

置き換えずにサクサクできるようになろう。

2019年 北海学園大

2019年 北海学園大$a>0$ とする。$a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{3}{4}}=10$ のとき,$a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}$ と $a^3+a^{-3}$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
$(a^{\frac{3}{4}})^2=a^{\frac{3}{2}}$ であることを考えて,うまく式変形して値を求めよう。
$a^{\frac{3}{4}}=t$ とおくと,$a^{-\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{t}$ となるから,与えられた等式は
\begin{align*}
t+\dfrac{1}{t}=10
\end{align*}
となる。$a^{\frac{3}{2}}=t^2$ であるから
\begin{align*}
a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}&=t^2+\dfrac{1}{t^2} \\[4pt]
&=\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^2-2 \\[4pt]
&=100-2=98
\end{align*}
また,$a^3=(a^{\frac{3}{2}})^2=t^4$ であるから
\begin{align*}
a^3+a^{-3}&=t^4+\dfrac{1}{t^4} \\[4pt]
&=\left(t^2+\dfrac{1}{t^2}\right)^2-2 \\[4pt]
&=98^2-2=9602
\end{align*}

指数で表された式の変形

ヒロ
ヒロ

対称式の変形と同じように,指数で表された式の有名な変形を難なくできるようにしよう。

指数で表された式の変形
  1. $a^{2x}+a^{-2x}=(a^x+a^{-x})^2-2$
  2. $(a^{x}-a^{-x})^2=(a^x+a^{-x})^2-4$
  3. $\displaystyle
    a^{3x}+a^{-3x}=(a^x+a^{-x})^3-3(a^x+a^{-x})
    $
  4. $\displaystyle
    a^{3x}-a^{-3x}=(a^x-a^{-x})^3+3(a^x-a^{-x}) $
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