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sin 18°の値と関連入試問題【静岡大・岡山県立大】

sin18 cos36 sin54 cos72 入試問題数学IAIIB

【(3)の解答】
\begin{align*}
\sin\theta\sin4\theta&=-\dfrac{1}{2}(\cos5\theta-\cos3\theta)
\end{align*}
となり,$5\theta=\dfrac{\pi}{2}$ であるから
\begin{align*}
\sin\theta\sin4\theta&=-\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{2}-\cos3\theta\right) \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\cos3\theta
\end{align*}
同様にして,
\begin{align*}
\sin2\theta\sin3\theta&=-\dfrac{1}{2}(\cos5\theta-\cos\theta) \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\cos\theta
\end{align*}

あとはそれぞれの値を求めて掛ければ答えが出ます。ただ・・・

ヒロ
ヒロ

ただ,$\cos\theta$ や $\cos3\theta$ の値を求めるのは面倒だなぁって思ってるのかな?

そうですね。いまは $\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}$ なので,ここから $\cos\theta$ を求めるだけでも面倒なのに,さらに $\cos3\theta$ を求めるなんて,正直やってられないです。

ヒロ
ヒロ

じゃあ,「本当にそんな面倒なことをしなければならないのか?」って考えれば良いんじゃないかな?

ヒロ
ヒロ

大学入試問題には,頑張って計算するものもあれば,工夫次第で計算を楽にできる問題もある。

ということは,この問題も工夫するってことですね・・・

ヒロ
ヒロ

それは分からないけど,考えに行き詰った場合は,問題の条件を確認することが大切だね。

この問題だと・・・$\sin2\theta=\cos3\theta$ ですね。・・・なるほど,分かりました。この等式を使えば,面倒な $\cos3\theta$ が $\sin2\theta$ になるから,$\cos\theta$ との積を考えるとすべてうまくいきますね!

【(3)の解答の続き】
$\sin2\theta=\cos3\theta$ より
\begin{align*}
(与式)&=\dfrac{1}{4}\cos\theta\cos3\theta \\[4pt]&=\dfrac{1}{4}\cos\theta\sin2\theta \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\sin\theta\cos^2\theta \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\sin\theta(1-\sin^2\theta) \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{-1+\sqrt5}{4}\left\{1-\left(\dfrac{-1+\sqrt5}{4}\right)^2\right\} \\[4pt]&=\dfrac{-1+\sqrt5}{8}\left(1-\dfrac{3-\sqrt5}{8}\right) \\[4pt]&=\dfrac{-1+\sqrt5}{8}\Cdota\dfrac{5+\sqrt5}{8} \\[4pt]&=\dfrac{\sqrt5}{16}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

いいね!ついでに和積公式も確認しておこう。

三角関数の和積公式
  1. $\displaystyle
    \sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}
    $
  2. $\displaystyle
    \sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}
    $
  3. $\displaystyle
    \cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}
    $
  4. $\displaystyle
    \cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}
    $
ヒロ
ヒロ

最後の方の計算は,次のようにして,次数下げを利用しても良いよ。

$\sin\theta=x$ とおくと,(2)より
\begin{align*}
4x^2+2x-1=0
\end{align*}
が成り立つから,
\begin{align*}
(与式)&=-\left(\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{1}{2}x\right) \\[4pt]&=-(4x^2+2x-1)\left(\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{16}\right)-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{16} \\[4pt]&=-\dfrac{1}{4}\Cdota\dfrac{-1+\sqrt5}{4}-\dfrac{1}{16} \\[4pt]&=\dfrac{\sqrt5}{16}
\end{align*}
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18の倍数角の正弦・余弦の値に関するまとめ

ヒロ
ヒロ

$\sin18\Deg~\left(=\sin\dfrac{\pi}{10}\right)$ に関する入試問題は,様々な大学で出題されている。

ヒロ
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$\sin18\Deg=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}$ であることを覚えている人も少なくなく,2010年のセンター試験でも出題されたときは,値を覚えていて,最後の値を求める問題だけは正解した人もいる。

ヒロ
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$72\Deg=90\Deg-18\Deg$ であることから,$\cos72\Deg=\sin18\Deg$ となることも簡単に分かる。

ヒロ
ヒロ

また,$\sin A=\sin B$ や $\cos A=\cos B$ の形の方程式を難なく解けるようにしておくことは非常に重要だ。

ヒロ
ヒロ

2倍角の公式や $\sin\left(90\Deg-\theta\right)=\cos\theta$ などの関係式を用いると,$18\Deg$ に関連する正弦・余弦の主な値は次のようになる。

$18\Deg$ に関連する正弦・余弦の値
  1. $\sin18\Deg=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}$
  2. $\cos36\Deg=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$
  3. $\sin54\Deg=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$
  4. $\cos72\Deg=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}$
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