$\sin A=\sin B$ の解き方$\sin A=\sin B$ が成り立つとき，$B$ は整数 $n$ を用いて次のように表すことができる。
\begin{align*}
B=A+2n\pi~~または~~B=\pi-A+2n\pi
\end{align*}
これは単位円で考えると，すぐに納得できるだろう。B=A+2n\pi~~または~~B=\pi-A+2n\pi
\end{align*}
ヒロ
$\cos$ で揃えた場合は，次のようになる。
$\cos A=\cos B$ の解き方$\cos A=\cos B$ が成り立つとき，$A$ は整数 $n$ を用いて次のように表すことができる。
\begin{align*}
B=A+2n\pi~~または~~B=-A+2n\pi
\end{align*}
$\sin$ のときと同様に単位円で考えると，簡単に理解できるだろう。B=A+2n\pi~~または~~B=-A+2n\pi
\end{align*}
角 $\theta$ を求めるのだから，$\theta$ に関する方程式を立てることが重要なんですね。これで解いてみます！
【(1)の解答：$\sin$ で揃える】
$\sin2\theta=\cos3\theta$ より
$\sin2\theta=\cos3\theta$ より
\begin{align*}
\sin2\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-3\theta\right)
\end{align*}
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき\sin2\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-3\theta\right)
\end{align*}
\begin{align*}
0<2\theta<\pi,~-\pi<\dfrac{\pi}{2}-3\theta<\dfrac{\pi}{2}
\end{align*}
であるから0<2\theta<\pi,~-\pi<\dfrac{\pi}{2}-3\theta<\dfrac{\pi}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
&2\theta=\dfrac{\pi}{2}-3\theta \\[4pt]&\theta=\dfrac{\pi}{10}
\end{align*}
&2\theta=\dfrac{\pi}{2}-3\theta \\[4pt]&\theta=\dfrac{\pi}{10}
\end{align*}
簡単ですね。もう1つの解法でも解いておきます！
【(1)の別解：$\cos$ で揃える】
$\sin2\theta=\cos3\theta$ より
$\sin2\theta=\cos3\theta$ より
\begin{align*}
\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)=\cos3\theta
\end{align*}
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)=\cos3\theta
\end{align*}
\begin{align*}
-\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{\pi}{2}-2\theta<\dfrac{\pi}{2},~0<3\theta<\dfrac{3}{2}\pi
\end{align*}
であるから-\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{\pi}{2}-2\theta<\dfrac{\pi}{2},~0<3\theta<\dfrac{3}{2}\pi
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{\pi}{2}-2\theta=3\theta \\[4pt]&\theta=\dfrac{\pi}{10}
\end{align*}
&\dfrac{\pi}{2}-2\theta=3\theta \\[4pt]&\theta=\dfrac{\pi}{10}
\end{align*}
ヒロ
完璧だね。最後の(3)を解いていこう。
$\sin\theta$ の値が分かっているからといって，2倍角の公式や3倍角の公式を使って $\sin2\theta$, $\sin3\theta$, $\sin4\theta$ を求めて，さらにそれを掛けて値を求めるとか，どう考えても面倒なので別の方法を考えないとダメですね・・・
ヒロ
ほとんどの人は，解けることに変わりないなら，楽に速く解ける解法を選びたいと思っているはず。
そうですね・・・
ヒロ
入試問題だから，(1)や(2)で分かったことをヒントにするのは当然だね。何が分かったのかしっかり考えよう。
(1)で分かったのは，$\theta=\dfrac{\pi}{10}$ ですけど，もしかして，その前の $5\theta=\dfrac{\pi}{2}$ がヒントになってますか？
ヒロ
何故そう思ったの？
$\theta+4\theta=5\theta$ だし，$2\theta+3\theta=5\theta$ になってて，角の和が $5\theta$ になってるのと関係あるのかなって思いました。
ヒロ
良い着眼点だね！じゃあ，それを利用するとしたら，$5\theta$ が出てくるように式変形すれば良いよね？
なるほど。積和公式を使うとできるかもしれないです。
三角関数の積和公式