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sin x, cos x, tan x を tan x/2 で表すことに関する入試問題【広島大・大阪教育大】

tan x/2でsin x,cos x, tan xを表す方法に関する入試問題数学IAIIB
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$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと,$\sin x,~\cos x,~\tan x$ をすべて $t$ で表すことができます。このこと自体は教科書でも扱われるくらい基本的事項のため,知らなかった人は,ここでしっかり学習していきましょう。

しかし,これらの等式を学ぶのは数学IIであるため,$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくことで,三角関数の有理式の定積分を計算できると知ることもなく,解答を見て「そんなの思いつかない」と文句を言っている人が少なくありません。

したがって,$\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと,$\sin x,~\cos x,~\tan x$ をすべて $t$ で表すことができることを経験すると同時に,定積分も計算できることも経験しておきましょう。

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2004年 広島大

2004年 広島大$-\pi<x<\pi$ とする。$c$ を実数とする。$x$ の方程式
\begin{align*}
\sin x+\sqrt{3}\cos x+c=0~\cdots\cdots(\ast)
\end{align*}
について,次の問いに答えよ。
(1) $(\ast)$ を $\sin(x+A)=B$ の形で表せ。また,$c=\sqrt{3}$ のとき,$x$ の値を求めよ。
(2) $(\ast)$ が異なる2つの解 $\alpha,~\beta$ をもつための $c$ の条件を求めよ。
(3) $\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくとき,
\begin{align*}
\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},~\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}
\end{align*}
を示せ。さらに,$(\ast)$ を $t$ についての2次方程式で表せ。
(4) (2)の条件のもとで,$\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ の値を求めよ。

※当時のカリキュラムでは,弧度法は数学IIICで使われており,数学IIBまでは度数法を使っていました。問題文の原文では度数法が使われていますが,現在のカリキュラムに合わせるため,弧度法に変えて記述しています。

ヒロ
ヒロ

(1)は三角関数の合成の問題だね。

任せて下さい!

【(1)の解答】
$(\ast)$ より
\begin{align*}
&2\left(\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)+c=0 \\[4pt]
&2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+c=0 \\[4pt]
&\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{c}{2}
\end{align*}
また,$c=\sqrt{3}$ のとき
\begin{align*}
\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align*}
$-\pi<x<\pi$ のとき,$-\dfrac{2}{3}\pi<x+\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{4}{3}\pi$ であるから
\begin{align*}
&x+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3} \\[4pt]
&x=-\dfrac{2}{3}\pi
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(2)は単位円を利用して考えよう。

【(2)の解答】
\begin{align*}
\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{c}{2}
\end{align*}
が $-\dfrac{2}{3}\pi<x+\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{4}{3}\pi$ の範囲に異なる2つの解 $x=\alpha,~\beta$ をもつのは,原点を中心とする単位円(点 $\left(-\dfrac{1}{2},~-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ を除く)と直線 $y=-\dfrac{c}{2}$ が2つの共有点をもつときである。
2004年 広島大 三角関数
上図より
\begin{align*}
&-1<-\dfrac{c}{2}<1,~-\dfrac{c}{2}\neq-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt]
&-2<c<2,~c\neq\sqrt{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(3)は基本事項だから必ずできるようにしよう!

基本だとは分かっているけど,いつも見るのがややこしい変形なので簡単な方法ってありますか?

ヒロ
ヒロ

じゃあ $\sin x$ だけ説明するよ。

お願いします!

【(3)の解答】
\begin{align*}
\sin x&=2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}=\dfrac{2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}{\color{blue}1} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}{\color{blue}\cos^2\dfrac{x}{2}+\sin^2\dfrac{x}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{\dfrac{2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}{\color{red}\cos^2\dfrac{x}{2}}}{\dfrac{\cos^2\dfrac{x}{2}}{\color{red}\cos^2\dfrac{x}{2}}+\dfrac{\sin^2\dfrac{x}{2}}{\color{red}\cos^2\dfrac{x}{2}}} \\[4pt]
&=\dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2\dfrac{x}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{2t}{1+t^2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

半角公式を利用して,$2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}$ と変形するのは,$\tan\dfrac{x}{2}$ で表すことを考えているから,当然の発想だと思えるようにしよう。

ヒロ
ヒロ

2行目の1を $\cos^2\dfrac{x}{2}+\sin^2\dfrac{x}{2}$ に変形することで,楽に $\tan\dfrac{x}{2}$ で表すことを可能にしている。

ヒロ
ヒロ

もう1つの $\cos x$ を同じようにして $t$ で表してみて?

任せて下さい!同じようにすればできますね。

【(3)の解答】
\begin{align*}
\cos x&=\cos^2\dfrac{x}{2}-\sin^2\dfrac{x}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{\cos^2\dfrac{x}{2}-\sin^2\dfrac{x}{2}}{\cos^2\dfrac{x}{2}+\sin^2\dfrac{x}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2\dfrac{x}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は $(\ast)$ を $t$ についての2次方程式で表そう。

【(3)の解答】
$(\ast)$ より
\begin{align*}
&\dfrac{2t}{1+t^2}+\sqrt{3}\Cdot\dfrac{1-t^2}{1+t^2}+c=0 \\[4pt]
&2t+\sqrt{3}(1-t^2)+c(1+t^2)=0 \\[4pt]
&(c-\sqrt{3})t^2+2t+c+\sqrt{3}=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(4)は,①の2解が $\tan\dfrac{\alpha}{2},~\tan\dfrac{\beta}{2}$ となることに着目しよう。

ヒロ
ヒロ

また,$\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ を求めるのだから,加法定理を利用するのだろうと予想できる。

【(4)の解答】
2つの解 $\alpha,~\beta$ に対して
\begin{align*}
t_1=\tan\dfrac{\alpha}{2},~t_2=\tan\dfrac{\beta}{2}
\end{align*}
とおくと,$t_1,~t_2$ は①の2解であるから,解と係数の関係より
\begin{align*}
t_1+t_2=-\dfrac{2}{c-\sqrt{3}},~t_1t_2=\dfrac{c+\sqrt{3}}{c-\sqrt{3}}
\end{align*}
よって
\begin{align*}
\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}&=\dfrac{\tan\dfrac{\alpha}{2}+\tan\dfrac{\beta}{2}}{1-\tan\dfrac{\alpha}{2}\tan\dfrac{\beta}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{t_1+t_2}{1-t_1t_2} \\[4pt]
&=\dfrac{-\dfrac{2}{c-\sqrt{3}}}{1-\dfrac{c+\sqrt{3}}{c-\sqrt{3}}} \\[4pt]
&=\dfrac{-2}{(c-\sqrt{3})-(c+\sqrt{3})} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{\sqrt{3}}
\end{align*}

2013年 大阪教育大

2013年 大阪教育大(1) $t=\tan\dfrac{x}{2}$ とおくとき,次の等式が成り立つことを示せ。
(i) $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$
(ii) $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
(iii) $\tan x=\dfrac{2t}{1-t^2}$
(2) $a,~b$ を実数とする。$x$ を未知数とする方程式 $a\sin x+b\cos x+1=0$ が,$-\pi<x<\pi$ の範囲に相異なる二つの解をもつとする。
(i) $a,~b$ の満たすべき条件を求めよ。
(ii) 二つの解を $\alpha,~\beta$ とするとき,$\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ を $a,~b$ を用いて表せ。
(3) 次の定積分を求めよ。
\begin{align*}
\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{\sin x+\cos x+1}\;dx
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(1)の(i),(ii)は,さっきの広島大の問題と同じだから(iii)だけを解こう。

これは2倍角の公式を利用するだけですね。

【(1)(iii)の解答】
\begin{align*}
\tan x&=\dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan^2\dfrac{x}{2}} \\[4pt]&=\dfrac{2t}{1-t^2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次の(2)(i)は(1)を利用して $t$ の方程式で考えよう。

合成をしないのは係数が文字だから,さっきみたいに角度が決まらなくて,新たに文字でおかないといけないから(1)を利用するんですね。

ヒロ
ヒロ

文字が減るようにするのが基本だからね。増えてややこしくなるのを避けよう。

【(2)(i)の解答】
$-\pi<x<\pi$ のとき,$-\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{x}{2}<\dfrac{\pi}{2}$ であるから,$t=\tan\dfrac{x}{2}$ とおくと,(1)の結果より,与えられた方程式は次のようになる。
\begin{align*}
&a\Cdota\dfrac{2t}{1+t^2}+b\Cdota\dfrac{1-t^2}{1+t^2}+1=0 \\[4pt]&2at+b(1-t^2)+(1+t^2)=0 \\[4pt]&(1-b)t^2+2at+1+b=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
ここで $b=1$ のとき,①は高々1個の実数解しかもたないから,$b\neq1$ である。
また,$t=\tan\dfrac{x}{2}$, $-\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{x}{2}<\dfrac{\pi}{2}$ であるから,$t$ はすべての実数を取り得る。よって,与えられた方程式が $-\pi<x<\pi$ の範囲に相異なる二つの解をもつのは,①の判別式を $D$ とすると,$b\neq1,~D>0$ となるときである。$D>0$ より
\begin{align*}
&a^2-(1-b)(1+b)>0 \\[4pt]&a^2+b^2>1
\end{align*}
となるから,求める条件は次のようになる。
\begin{align*}
b\neq1~~かつ~~a^2+b^2>1
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最初の広島大の問題と同じように考えよう。

【(2)(ii)の解答】
二つの解 $\alpha,~\beta$ に対して
\begin{align*}
t_1=\tan\dfrac{\alpha}{2},~t_2=\tan\dfrac{\beta}{2}
\end{align*}
とおくと,$t_1,~t_2$ は①の2解であるから,解と係数の関係より
\begin{align*}
t_1+t_2=-\dfrac{2a}{1-b},~t_1t_2=\dfrac{1+b}{1-b}
\end{align*}
よって
\begin{align*}
\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}&=\dfrac{\tan\dfrac{\alpha}{2}+\tan\dfrac{\beta}{2}}{1-\tan\dfrac{\alpha}{2}\tan\dfrac{\beta}{2}} \\[4pt]&=\dfrac{t_1+t_2}{1-t_1t_2} \\[4pt]&=\dfrac{-\dfrac{2a}{1-b}}{1-\dfrac{1+b}{1-b}} \\[4pt]&=\dfrac{-2a}{(1-b)-(1+b)} \\[4pt]&=\dfrac{a}{b}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(3)で突然定積分の問題になっているけど,これも(1)の置き換えを利用しよう。

【(3)の解答】
$t=\tan\dfrac{x}{2}$ とおくと
\begin{align*}
&dt=\dfrac{1}{2\cos^2\dfrac{x}{2}}\;dx~,~~\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \to & \dfrac{\pi}{2} \\\hline
t & 0 & \to & 1
\end{array} \\[4pt]&dx=\dfrac{2}{1+t^2}\;dt
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
&\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{\sin x+\cos x+1}\;dx \\[4pt]&=\dint{0}{1}\dfrac{1}{\dfrac{2t}{1+t^2}+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}+1}\Cdota\dfrac{2}{1+t^2}\;dt \\[4pt]&=\dint{0}{1}\dfrac{2}{2t+(1-t^2)+(1+t^2)}\;dt \\[4pt]&=\dint{0}{1}\dfrac{1}{t+1}\;dt \\[4pt]&=\tint{\log\abs{t+1}}{0}{1} \\[4pt]&=\log2
\end{align*}

$\tan\dfrac{x}{2}$ で $\sin x,~\cos x,~\tan x$ を表す方法

ヒロ
ヒロ

頭の中で $\sin x,~\cos x,~\tan x$ を $\tan\dfrac{x}{2}$ で表せるようにしよう。また,三角関数の分数式の積分は,$\tan\dfrac{x}{2}=t$ と置いて,被積分関数を $t$ で表すことで積分できることを覚えておこう。

$t=\tan\dfrac{x}{2}$ とおくと成り立つ等式
  1. $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$
  2. $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
  3. $\tan x=\dfrac{2t}{1-t^2}$
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