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sin 18°の値と関連入試問題【静岡大・岡山県立大】

sin18 cos36 sin54 cos72 入試問題数学IAIIB

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2006年 岡山県立大

2006年 岡山県立大$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$, $\sin2\theta=\cos3\theta$ のとき,次の問いに答えよ。
(1) $\theta$ の値を求めよ。
(2) $\sin\theta$ の値を求めよ。
(3) $\sin\theta\sin2\theta\sin3\theta\sin4\theta$ の値を求めよ。

まずは(1)からやってみます。

【(1)の解答?】
$\sin2\theta=\cos3\theta$ より
\begin{align*}
&2\sin\theta\cos\theta=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta \\[4pt]&2\sin\theta\cos\theta=(1-2\sin^2\theta)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta
\end{align*}
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき,$\cos\theta\neq0$ であるから
\begin{align*}
&2\sin\theta=(1-2\sin^2\theta)-2\sin^2\theta \\[4pt]&4\sin^2\theta+2\sin\theta-1=0 \\[4pt]&\sin\theta=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}
\end{align*}
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき,$\sin\theta>0$ であるから
\begin{align*}
\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}
\end{align*}

えっと・・・・これは(2)ですね!

ヒロ
ヒロ

偉そうに言うことじゃないな(笑)

ヒロ
ヒロ

(1)を解こうとしたら,(2)が解けてしまったということだね。

(1)はどうしたら良いんでしょうか・・・?

ヒロ
ヒロ

問題を解くときの考え方に何らかの間違いがあるから,解こうと思った問題ではない問題を解いてしまうことになる。

ヒロ
ヒロ

値を求める問題では,何を求めるのか,そのためにはどうすれば良いのかをしっかり考えるようにしよう。

はい!

ヒロ
ヒロ

さっきは $\sin\theta$ の方程式を立てたから,$\sin\theta$ の値を求めることができたってこと。

なるほど。確かに変形するときに,$\cos\theta$ が邪魔だなって思ったから消えるように変形してました。

ヒロ
ヒロ

(1)では $\theta$ の値を求めるのだから,$\theta$ に関する方程式を立てることを考えよう。

ヒロ
ヒロ

まずは,次の公式を利用して,与えられた方程式を $\sin A=\sin B$ か $\cos A=\cos B$ の形に変形しよう。

$90\Deg-\theta$ の三角比数学IAの三角比で習ったときは,$90\Deg-\theta$ の三角比として記憶しているだろう。ここでは,方程式の角が弧度法で表されているため,弧度法で書いておく。
\begin{align*}
\sin\theta=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) \\[4pt]\cos\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次に,角の方程式にするために,次のポイントを理解しよう。

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