Contents
- ページ1
- 1 sin18°の値を求める入試問題【2004年 静岡大】
- ページ2
- ページ3
- 1 2006年 岡山県立大
- ページ4
- ページ5
- 1 18の倍数角の正弦・余弦の値に関するまとめ
2006年 岡山県立大
2006年 岡山県立大$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$, $\sin2\theta=\cos3\theta$ のとき，次の問いに答えよ。
(1) $\theta$ の値を求めよ。
(2) $\sin\theta$ の値を求めよ。
(3) $\sin\theta\sin2\theta\sin3\theta\sin4\theta$ の値を求めよ。
(1) $\theta$ の値を求めよ。
(2) $\sin\theta$ の値を求めよ。
(3) $\sin\theta\sin2\theta\sin3\theta\sin4\theta$ の値を求めよ。
まずは(1)からやってみます。
【(1)の解答？】
$\sin2\theta=\cos3\theta$ より
$\sin2\theta=\cos3\theta$ より
\begin{align*}
&2\sin\theta\cos\theta=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta \\[4pt]
&2\sin\theta\cos\theta=(1-2\sin^2\theta)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta
\end{align*}
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$\cos\theta\neq0$ であるから&2\sin\theta\cos\theta=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta \\[4pt]
&2\sin\theta\cos\theta=(1-2\sin^2\theta)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta
\end{align*}
\begin{align*}
&2\sin\theta=(1-2\sin^2\theta)-2\sin^2\theta \\[4pt]
&4\sin^2\theta+2\sin\theta-1=0 \\[4pt]
&\sin\theta=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}
\end{align*}
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$\sin\theta>0$ であるから&2\sin\theta=(1-2\sin^2\theta)-2\sin^2\theta \\[4pt]
&4\sin^2\theta+2\sin\theta-1=0 \\[4pt]
&\sin\theta=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}
\end{align*}
\begin{align*}
\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}
\end{align*}
\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}
\end{align*}
えっと・・・・これは(2)ですね！
ヒロ
偉そうに言うことじゃないな(笑)
ヒロ
(1)を解こうとしたら，(2)が解けてしまったということだね。
(1)はどうしたら良いんでしょうか・・・？
ヒロ
問題を解くときの考え方に何らかの間違いがあるから，解こうと思った問題ではない問題を解いてしまうことになる。
ヒロ
値を求める問題では，何を求めるのか，そのためにはどうすれば良いのかをしっかり考えるようにしよう。
はい！
ヒロ
さっきは $\sin\theta$ の方程式を立てたから，$\sin\theta$ の値を求めることができたってこと。
なるほど。確かに変形するときに，$\cos\theta$ が邪魔だなって思ったから消えるように変形してました。
ヒロ
(1)では $\theta$ の値を求めるのだから，$\theta$ に関する方程式を立てることを考えよう。
ヒロ
まずは，次の公式を利用して，与えられた方程式を $\sin A=\sin B$ か $\cos A=\cos B$ の形に変形しよう。
$90\Deg-\theta$ の三角比数学IAの三角比で習ったときは，$90\Deg-\theta$ の三角比として記憶しているだろう。ここでは，方程式の角が弧度法で表されているため，弧度法で書いておく。
\begin{align*}
\sin\theta=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) \\[4pt]
\cos\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)
\end{align*}
\sin\theta=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) \\[4pt]
\cos\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)
\end{align*}
ヒロ
次に，角の方程式にするために，次のポイントを理解しよう。