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sin 18°の値と関連入試問題【静岡大・岡山県立大】

sin18 cos36 sin54 cos72 入試問題数学IAIIB

ヒロ
ヒロ

(1)で分かったことは,$\theta=36\Deg$ ということだけど,$\sin36\Deg$ の値を知らないから,(1)の何を利用するのかということを考えないとダメだね。

なるほど・・・(1)で気付いたことって三角形ABCと三角形BCDが相似ってことですね。

ヒロ
ヒロ

そうだね。あとは,$\sin18\Deg$ を求めるのだから,$\sin18\Deg=x$ とおいて $x$ の方程式を立てることを考えると,等しい2つのものを探さないといけないね。

【方程式を立てるために考えること】
$18\Deg$ は $\theta=36\Deg$ の半分だから,$\sin18\Deg$ の意味を考えて三角形BCDに着目すると,
\begin{align*}
\sin18\Deg=\dfrac{\dfrac{1}{2}\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}=\dfrac{1}{2}\mathrm{CD}
\end{align*}
となる。よって,
\begin{align*}
\mathrm{CD}=2\sin18\Deg=2x
\end{align*}
となる。これでABの長さは
\begin{align*}
\mathrm{AB}&=\mathrm{CD}+\mathrm{DA} \\[4pt]&=2x+1
\end{align*}
となるから,三角形BCDと相似な三角形ABCにも着目すると
\begin{align*}
&\sin18\Deg=\dfrac{\dfrac{1}{2}\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} \\[4pt]&x=\dfrac{1}{2(2x+1)}
\end{align*}
となり,方程式の出来上がり。
【(2)の解答】
$x=\sin18\Deg$ とおくと,三角形BCDに着目すると
\begin{align*}
&\mathrm{CD}=2\mathrm{BC}\sin18\Deg=2x
\end{align*}
となるから,$\mathrm{AC}=2x+1$ となる。
したがって,三角形ABCに着目すると,$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2x+1$ であるから
\begin{align*}
&\mathrm{BC}=2\mathrm{AB}\sin18\Deg \\[4pt]&1=2(2x+1)x \\[4pt]&4x^2+2x-1=0 \\[4pt]&x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}
\end{align*}
$x>0$ より,$x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
よって,$\sin18\Deg=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
ヒロ
ヒロ

別の方法でも解いておこう。

【(2)の別解】
$\mathrm{CD}=x$ とおくと,$\sankaku{ABC}$∽$\sankaku{BCD}$ より
\begin{align*}
&\mathrm{AC:BC=BD:CD} \\[4pt]&(1+x):1=1:x \\[4pt]&x(1+x)=1 \\[4pt]&x^2+x-1=0 \\[4pt]&x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align*}
$x>0$ より,$x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$
$\sankaku{BCD}$ は二等辺三角形だから
\begin{align*}
\sin18\Deg&=\dfrac{\dfrac{1}{2}\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}} \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}x \\[4pt]&=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}
\end{align*}

$\mathrm{CD}=x$ とおいた時点で,$\sin18\Deg=\dfrac{1}{2}x$ になることが分かってるんですよね?

ヒロ
ヒロ

そうだね。実際には,事前に $\sin18\Deg=\dfrac{1}{2}x$ になることを考えて,$\mathrm{CD}=x$ とおいているだろうね。

ヒロ
ヒロ

では,次の(3)へ進もう。

おそらく(2)の $\sin18\Deg$ と関連があるのかなぁと思います。

【考えること】
$\alpha,~\beta$ のそれぞれの角の大きさは分からないけど,
\begin{align*}
\alpha+\beta=180\Deg-72\Deg=108\Deg
\end{align*}
であることが分かる。$\sin\alpha+\sin\beta$ の最大値を求めたいということと,$\alpha+\beta$ は定数であることを考えると,和積の公式を利用することで,バラバラになっている $\alpha$ と $\beta$ を一か所にまとめることができそう。
実際に,和積の公式を利用して計算してみると,
\begin{align*}
\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2} \\[4pt]&=2\sin54\Deg\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}
\end{align*}
となるから,$\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ の最大値を求めれば良い。
ヒロ
ヒロ

良い考え方だね。バラバラになっている変数を一か所にまとめるために,和積の公式を利用するのが良いね!

あとは $\alpha-\beta$ の範囲を求めれば良さそうです。

【(3)の解答】
三角形EFGの内角の和は $180\Deg$ であるから
\begin{align*}
\alpha+\beta=108\Deg
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2} \\[4pt]&=2\sin54\Deg\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}
\end{align*}
ここで,$0\Deg<\alpha<108\Deg$, $0\Deg<\beta<108\Deg$ より
\begin{align*}
&-108\Deg<\alpha-\beta<108\Deg \\[4pt]&-54\Deg<\dfrac{\alpha-\beta}{2}<54\Deg
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
\cos54\Deg<\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\leqq1
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
\sin\alpha+\sin\beta\leqq2\sin54\Deg
\end{align*}
ここで,$54\Deg=90\Deg-36\Deg$ より
\begin{align*}
\sin54\Deg&=\cos36\Deg \\[4pt]&=1-2\sin^218\Deg \\[4pt]&=1-2\left(\dfrac{-1+\sqrt5}{4}\right)^2 \\[4pt]&=1-\dfrac{3-\sqrt5}{4} \\[4pt]&=\dfrac{1+\sqrt5}{4}
\end{align*}
したがって,求める $\sin\alpha+\sin\beta$ の最大値は
\begin{align*}
2\sin54\Deg=\dfrac{1+\sqrt5}{2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$54\Deg=18\Deg\times3$ と考えてもできるけど,3倍角の公式を覚えていないと,その導出が面倒なのと,その後の計算も面倒なので,$54\Deg=90\Deg-36\Deg$ として,2倍角の公式を利用するのが良いだろうね。

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