sin 18°の値と関連入試問題【静岡大・岡山県立大】

【(3)の解答】

\begin{align*}
\sin\theta\sin4\theta&=-\dfrac{1}{2}(\cos5\theta-\cos3\theta)
\end{align*}

となり，$5\theta=\dfrac{\pi}{2}$ であるから

\begin{align*}
\sin\theta\sin4\theta&=-\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{2}-\cos3\theta\right) \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\cos3\theta
\end{align*}

同様にして，

\begin{align*}
\sin2\theta\sin3\theta&=-\dfrac{1}{2}(\cos5\theta-\cos\theta) \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\cos\theta
\end{align*}

あとはそれぞれの値を求めて掛ければ答えが出ます。ただ・・・

ヒロ

ただ，$\cos\theta$ や $\cos3\theta$ の値を求めるのは面倒だなぁって思ってるのかな？

そうですね。いまは $\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}$ なので，ここから $\cos\theta$ を求めるだけでも面倒なのに，さらに $\cos3\theta$ を求めるなんて，正直やってられないです。

ヒロ

じゃあ，「本当にそんな面倒なことをしなければならないのか？」って考えれば良いんじゃないかな？

ヒロ

大学入試問題には，頑張って計算するものもあれば，工夫次第で計算を楽にできる問題もある。

ということは，この問題も工夫するってことですね・・・

ヒロ

それは分からないけど，考えに行き詰った場合は，問題の条件を確認することが大切だね。

この問題だと・・・$\sin2\theta=\cos3\theta$ ですね。・・・なるほど，分かりました。この等式を使えば，面倒な $\cos3\theta$ が $\sin2\theta$ になるから，$\cos\theta$ との積を考えるとすべてうまくいきますね！

【(3)の解答の続き】
$\sin2\theta=\cos3\theta$ より

\begin{align*}
(与式)&=\dfrac{1}{4}\cos\theta\cos3\theta \\[4pt]&=\dfrac{1}{4}\cos\theta\sin2\theta \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\sin\theta\cos^2\theta \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\sin\theta(1-\sin^2\theta) \\[4pt]&=\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{-1+\sqrt5}{4}\left\{1-\left(\dfrac{-1+\sqrt5}{4}\right)^2\right\} \\[4pt]&=\dfrac{-1+\sqrt5}{8}\left(1-\dfrac{3-\sqrt5}{8}\right) \\[4pt]&=\dfrac{-1+\sqrt5}{8}\Cdota\dfrac{5+\sqrt5}{8} \\[4pt]&=\dfrac{\sqrt5}{16}
\end{align*}

ヒロ

いいね！ついでに和積公式も確認しておこう。

三角関数の和積公式

$\displaystyle
\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}
$
$\displaystyle
\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}
$
$\displaystyle
\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}
$
$\displaystyle
\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}
$

ヒロ

最後の方の計算は，次のようにして，次数下げを利用しても良いよ。

$\sin\theta=x$ とおくと，(2)より

\begin{align*}
4x^2+2x-1=0
\end{align*}

が成り立つから，

\begin{align*}
（与式）&=-\left(\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{1}{2}x\right) \\[4pt]&=-(4x^2+2x-1)\left(\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{16}\right)-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{16} \\[4pt]&=-\dfrac{1}{4}\Cdota\dfrac{-1+\sqrt5}{4}-\dfrac{1}{16} \\[4pt]&=\dfrac{\sqrt5}{16}
\end{align*}

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