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【数学IA】集合とその表し方

【数学IA】集合とその表し方数学IAIIB
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集合とその表し方について説明します。

日常生活での「集合」は1つの場所に集まることを指しますが,数学での「集合」はそれとは異なる定義になっています。

集合の正しい定義と表し方を知ることが大切です。

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集合とは

ヒロ
ヒロ

集合とは,ある条件を満たすものを集めたもののことだよ。

ヒロ
ヒロ

条件を満たすかどうかは誰が考えても1つに決まるものでなければならないのがポイント。

ヒロ
ヒロ

したがって「可愛い人」を集合にすることはできない。

ヒロ
ヒロ

例えば,有村架純を見て可愛いと思う人もいれば,別に可愛くないと思う人もいるでしょう。

でも可愛いですよね?

ヒロ
ヒロ

有村架純は可愛いと思うけど,1人でも「そう思わない」という人がいれば,答えが1つに定まらないということになるから,「可愛い人」を集合にすることはできないね。

ヒロ
ヒロ

なるほど。

ヒロ
ヒロ

一方で「乃木坂46」は集合になる。

ヒロ
ヒロ

例えば,「白石麻衣」と1人の名前を挙げたとき,その人が乃木坂46に属しているか否かは誰が答えても同じになるね?

もうすぐ卒業らしいですよ?

ヒロ
ヒロ

とりあえず今現在の話なので・・・

ヒロ
ヒロ

このように答える人によらずに1つに答えが定まるものを集合というから覚えておこう。

分かりました。

ヒロ
ヒロ

数学で言えば「5以下の自然数」も集合になるね。

1つの数を言ったとき,それが5以下の自然数かどうかは誰でも同じ答えになるからですね。

ヒロ
ヒロ

そういうこと。

集合の要素

ヒロ
ヒロ

集合の要素とは,集合に入っているもののことだよ。

ヒロ
ヒロ

例えば乃木坂46で言えば,「白石麻衣」や「齋藤飛鳥」は乃木坂46のメンバーだから,乃木坂46という集合の1つ1つの要素ということ。

なるほど。

ヒロ
ヒロ

「5以下の自然数」という集合の要素は何がある?

1,2,3,4,5ですね。

ヒロ
ヒロ

完璧だね。

集合とその要素の表し方

ヒロ
ヒロ

それでは集合の表し方を覚えよう。

ヒロ
ヒロ

集合に含まれる要素の表し方には,主に2つの方法がある。

集合の表し方
  1. $\displaystyle
    (集合名)=\{(要素1),~(要素2),~\cdots\}
    $
  2. $\displaystyle
    (集合名)=\{(要素の代表)\mid(要素の代表の条件)\}
    $
ヒロ
ヒロ

「5以下の自然数」という集合を $A$ とすると,次のようになる。

【集合の表し方】
$A$ の要素を書き並べる方法だと次のようになる。
\begin{align*}
A=\{1,~2,~3,~4,~5\}
\end{align*}
要素の代表とその条件を書く方法は次のようにいくつかの表し方がある。
\begin{align*}
&A=\{n\mid n~は5以下の自然数\} \\[4pt]
&A=\{n\mid n~は~n\leqq5~を満たす自然数\} \\[4pt]
&A=\{n\mid n~は~1\leqq n\leqq5~を満たす整数\}
\end{align*}
ちなみに集合に名前がない場合は,その部分を省略して書けば良い。

集合を表す問題1

ヒロ
ヒロ

それでは問題を解いて練習しよう。

問題1次の集合を要素を書き並べて表せ。
(1) 28の正の約数全体の集合
(2) 10以下の正の奇数全体の集合
ヒロ
ヒロ

集合を表す方法を知っていれば簡単だね。

【解答】
(1) $\{1,~2,~4,~7,~14,~28\}$
(2) $\{1,~3,~5,~7,~9\}$

集合を表す問題2

問題2次の集合を要素を書き並べて表せ。
(1) $\{x\mid-2\leqq x<5,~x~は整数\}$
(2) $\{n^2\mid-1<n\leqq2,~n~は整数\}$
(3) $\{3n-2\mid0<n<9,~n~は素数\}$
ヒロ
ヒロ

等号の有無に注意しよう。

【(1)の解答】
$-2$ 以上5未満の整数であるから
\begin{align*} \{-2,~-1,~0,~1,~2,~3,~4\} \end{align*}
ヒロ
ヒロ

要素の代表が $n^2$ になっていることに注意しよう。

【(2)の解答】
$n=0,~1,~2$ であるから
\begin{align*} \{0,~1,~4\} \end{align*}
ヒロ
ヒロ

要素の代表は,この問題のように $n^2$ という多項式になることもあることを知っておこう。

ヒロ
ヒロ

(2)ができれば(3)もできるだろう。

【(3)の解答】
$n$ は $0<n<9$ を満たす素数であるから,$n=2,~3,~5,~7$
よって,求める集合は
\begin{align*} \{4,~7,~13,~19\} \end{align*}
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