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【数学Ⅰ】定期テストに出題される根号を含む不等式

【数学Ⅰ】定期テストに出題される根号を含む不等式数学IAIIB
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根号を含む不等式といっても,外せる根号を含む不等式を扱います。

根号を外す際は絶対値記号を用いて表さないといけないため,根号を外した後は絶対値を含む不等式を解くことになります。

根号を外す問題と絶対値を含む不等式の融合問題とも言えます。

テストで出題されても困らないように,しっかり対策しておきましょう。

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定期テストに出題された問題

ヒロ
ヒロ

それでは次の問題を考えよう。

問題不等式 $\sqrt{x^2+4x+4}-2\sqrt{x^2-6x+9}\leqq3$ を解け。
ヒロ
ヒロ

まずは根号を外していこう。

【問題の考え方と解法】
与えられた不等式より
\begin{align*}
&\sqrt{(x+2)^2}-2\sqrt{(x-3)^2}\leqq3 \\[4pt]
&\abs{x+2}-2\abs{x-3}\leqq3
\end{align*}

(i) $x<-2$ のとき
\begin{align*} &-(x+2)+2(x-3)\leqq3 \\[4pt] &x-8\leqq3 \\[4pt] &x\leqq11 \end{align*}
$x<-2$ との共通部分を考えて $x<-2$
(ii) $-2\leqq x<3$ のとき
\begin{align*} &(x+2)+2(x-3)\leqq3 \\[4pt] &3x-4\leqq3 \\[4pt] &x\leqq\dfrac{7}{3} \end{align*}
$-2\leqq x<3$ との共通部分を考えて $-2\leqq x\leqq\dfrac{7}{3}$
(iii) $3\leqq x$ のとき
\begin{align*} &(x+2)-2(x-3)\leqq3 \\[4pt] &-x+8\leqq3 \\[4pt] &x\geqq5 \end{align*}
$3\leqq x$ との共通部分を考えて $5\leqq x$
(i)~(iii)より,$x\leqq\dfrac{7}{3},~5\leqq x$

グラフを利用した解法

ヒロ
ヒロ

次にグラフを利用して解こう。

ヒロ
ヒロ

と言っても,根号を外すまでは同じなので次の問題を考える。

$\abs{x+2}-2\abs{x-3}\leqq3$ を解け。

【グラフを利用した解答】
左辺を $f(x)$ として $y=f(x)$ のグラフを考える。
$f(x)$ の $x$ の係数は次のようになる。
\begin{align*}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & \cdots & -2 & \cdots & 3 & \cdots \\[4pt]\hline
x~の係数 & 1 & & 3 & & -1
\end{array}
\end{align*}
また,
\begin{align*}
&f(-2)=-10 \\[4pt]&f(3)=5
\end{align*}
であるから $y=f(x)$ のグラフは次のようになる。
【数学Ⅰ】定期テストに出題される根号を含む不等式
$y=f(x)$ のグラフが $y=3$ のグラフより下側にある範囲が求める解だから
\begin{align*}
x\leqq\dfrac{7}{3},~5\leqq x
\end{align*}
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