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【数学ⅡB】恒等式に関する問題【東京薬科大・富山大・九州大】

恒等式に関する問題数学IAIIB
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ここでは恒等式に関する問題について説明します。

大学入試では,次数が文字で表された関数の次数を求める入試問題が出題されることがあります。

その際には,指数法則を利用するのは当然ですが,多項式どうしの和の次数に注意しなければなりません。

今回の記事で扱っている問題は,普段扱っている問題より少し難しい問題になっています。

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条件式がある恒等式の問題

2005年 東京薬科大$a,~b,~c$ を定数とする。$x+y-z=0$ および $2x-2y+z+1=0$ を満たす $x,~y,~z$ のすべての値に対して $ax^2+by^2+cz^2=1$ が成立するとき,$a,~b,~c$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
 等式が2本あるから,3文字のうち2文字を残り1文字で表すことができる。今回は $y$ と $z$ を $x$ で表して考えよう。
 $x+y-z=0$ と $2x-2y+z+1=0$ より
\begin{align*}
y=3x+1,~z=4x+1
\end{align*}
与えられた等式に代入すると
\begin{align*}
&ax^2+b(3x+1)^2+c(4x+1)^2=1 \\[4pt]&(a+9b+16c)x^2+(6b+8c)x+b+c-1=0
\end{align*}
となる。与えられた条件をみたすのは,これが $x$ についての恒等式になるときだから
\begin{align*}
\begin{cases}
a+9b+16c=0 \\[4pt]6b+8c=0 \\[4pt]b+c-1=0
\end{cases}
\end{align*}
よって,これらを解いて
\begin{align*}
a=12,~b=4,~c=-3
\end{align*}

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