ここでは階差数列について解説します。
階差数列とはどんな数列かを知って一般項を求められるようにしましょう。
その際にシグマ計算が必要になるため，様々なシグマ計算をできるようにしておきましょう。
階差数列と一般項
ヒロ
階差数列とは次のようなものである。
階差数列と一般項数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めようとするとき，数の並びの規則性を調べるために，隣り合う2項の差を考えよう。
その差を並べたものを階差数列という。
数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると，$n\geqq2$ のとき
その差を並べたものを階差数列という。
数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると，$n\geqq2$ のとき
\begin{align*}
a_n=a_1+\Sum{k=1}{n-1}b_k
\end{align*}
となる。a_n=a_1+\Sum{k=1}{n-1}b_k
\end{align*}
ヒロ
この公式については，次の記事で説明している。
2021年 慶應義塾大
2021年 慶應義塾大数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とする。$\{b_n\}$ が初項2，公比 $\dfrac{1}{3}$ の等比数列となるとき，$\{b_n\}$ の一般項は $b_n=\myhako$ である。また，$\{a_n\}$ も等比数列になるならば，$a_1=\myhako$ である。このとき $\{a_n\}$ の一般項は $a_n=\myhako$ である。
【解答と考え方】
$\{b_n\}$ は初項2，公比 $\dfrac{1}{3}$ の等比数列であるから一般項は
$\{b_n\}$ は初項2，公比 $\dfrac{1}{3}$ の等比数列であるから一般項は
\begin{align*}
b_n=2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}
\end{align*}
$n\geqq2$ のときb_n=2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}
\end{align*}
\begin{align*}
a_n&=a_1+\Sum{k=1}{n-1}b_k \\[4pt]
&=a_1+\Sum{k=1}{n-1}2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1} \\[4pt]
&=a_1+\dfrac{2\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}}{1-\dfrac{1}{3}} \\[4pt]
&=a_1+3-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-2}
\end{align*}
数列 $\{a_n\}$ が等比数列になるのは $a_1+3=0$ となるときであるからa_n&=a_1+\Sum{k=1}{n-1}b_k \\[4pt]
&=a_1+\Sum{k=1}{n-1}2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1} \\[4pt]
&=a_1+\dfrac{2\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}}{1-\dfrac{1}{3}} \\[4pt]
&=a_1+3-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-2}
\end{align*}
\begin{align*}
a_1=-3
\end{align*}
であり，このときa_1=-3
\end{align*}
\begin{align*}
a_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-2}
\end{align*}
a_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-2}
\end{align*}
2019年 静岡文化芸術大
2019年 静岡文化芸術大2でも3でも割り切れない自然数を小さい順に並べた数列 $\{a_n\}$ について，次の各問いに答えよ。
(1) 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$，$\{b_n\}$ の階差数列を $\{c_n\}$ とするとき，$a_6,~b_6,~c_6$ をそれぞれ求めよ。
(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(1) 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$，$\{b_n\}$ の階差数列を $\{c_n\}$ とするとき，$a_6,~b_6,~c_6$ をそれぞれ求めよ。
(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
【(1)の解答と考え方】
数を並べて考える。
数を並べて考える。
\begin{align*}
&a_n:1,~5,~7,~11,~13,~17,~19,~23,~25,~\cdots \\[4pt]
&b_n:4,~2,~4,~2,~4,~2,~4,~2,~\cdots \\[4pt]
&c_n:-2,~2,~-2,~2,~-2,~2,~-2,~\cdots
\end{align*}
よって，$a_6=17,~b_6=2,~c_6=2$&a_n:1,~5,~7,~11,~13,~17,~19,~23,~25,~\cdots \\[4pt]
&b_n:4,~2,~4,~2,~4,~2,~4,~2,~\cdots \\[4pt]
&c_n:-2,~2,~-2,~2,~-2,~2,~-2,~\cdots
\end{align*}
(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
【(2)の解答と考え方】
$c_n,~b_n$ を順番に求めることによって，$a_n$ を求めることができる。
数列 $\{c_n\}$ は初項 $-2$，公比 $-1$ の等比数列であるから，その一般項は
$c_n,~b_n$ を順番に求めることによって，$a_n$ を求めることができる。
数列 $\{c_n\}$ は初項 $-2$，公比 $-1$ の等比数列であるから，その一般項は
\begin{align*}
c_n=-2\Cdota(-1)^{n-1}=2\Cdota(-1)^n
\end{align*}
$n\geqq2$ のときc_n=-2\Cdota(-1)^{n-1}=2\Cdota(-1)^n
\end{align*}
\begin{align*}
b_n&=b_1+\Sum{k=1}{n-1}c_k \\[4pt]
&=4+\Sum{k=1}{n-1}2\Cdota(-1)^k \\[4pt]
&=4+\dfrac{-2\{1-(-1)^{n-1}\}}{1-(-1)} \\[4pt]
&=3-(-1)^n
\end{align*}
これは $n=1$ のときも成り立つ。さらに $n\geqq2$ のときb_n&=b_1+\Sum{k=1}{n-1}c_k \\[4pt]
&=4+\Sum{k=1}{n-1}2\Cdota(-1)^k \\[4pt]
&=4+\dfrac{-2\{1-(-1)^{n-1}\}}{1-(-1)} \\[4pt]
&=3-(-1)^n
\end{align*}
\begin{align*}
a_n&=a_1+\Sum{k=1}{n-1}b_k \\[4pt]
&=1+\Sum{k=1}{n-1}\left\{3-(-1)^k\right\} \\[4pt]
&=1+3(n-1)+\dfrac{1-(-1)^{n-1}}{1-(-1)} \\[4pt]
&=3n-\dfrac{3-(-1)^n}{2}
\end{align*}
a_n&=a_1+\Sum{k=1}{n-1}b_k \\[4pt]
&=1+\Sum{k=1}{n-1}\left\{3-(-1)^k\right\} \\[4pt]
&=1+3(n-1)+\dfrac{1-(-1)^{n-1}}{1-(-1)} \\[4pt]
&=3n-\dfrac{3-(-1)^n}{2}
\end{align*}
ヒロ
次のようにして一般項を求める方法もある。
【(2)の別の考え方】
2と3の最小公倍数が6であることを考えると，2でも3でも割り切れない自然数は，6で割ったときに余りが1か5になる数であることが分かる。自然数 $n$ を用いて表すと，$6n-5,~6n-1$ となる。このままでは一般項にならないため，書き直す必要がある。
$6n-5$ と $6n-1$ の $n$ に1から順番に交互に代入することで数列 $\{a_n\}$ の項が得られる。つまり，$6n-5$ には奇数を代入し，$6n-1$ には偶数を代入することになる。
2と3の最小公倍数が6であることを考えると，2でも3でも割り切れない自然数は，6で割ったときに余りが1か5になる数であることが分かる。自然数 $n$ を用いて表すと，$6n-5,~6n-1$ となる。このままでは一般項にならないため，書き直す必要がある。
$6n-5$ と $6n-1$ の $n$ に1から順番に交互に代入することで数列 $\{a_n\}$ の項が得られる。つまり，$6n-5$ には奇数を代入し，$6n-1$ には偶数を代入することになる。
\begin{align*}
&6n-5=3(2n-1)-2 \\[4pt]
&6n-1=3\Cdota2n-1
\end{align*}
と変形することによって，一般項は次のように表すことができる。&6n-5=3(2n-1)-2 \\[4pt]
&6n-1=3\Cdota2n-1
\end{align*}
\begin{align*}
&n~が奇数のとき，a_n=3n-2 \\[4pt]
&n~が偶数のとき，a_n=3n-1
\end{align*}
&n~が奇数のとき，a_n=3n-2 \\[4pt]
&n~が偶数のとき，a_n=3n-1
\end{align*}