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【数学ⅡB】様々な数列の和【明治大・津田塾大】

様々な数列の和数学IAIIB

ここでは様々な数列の和の問題を解説します。

数列の中には,各項が和の形で表されているものもあります。その場合は,まず,和の公式やシグマ計算をすることで一般項を求めます。その後,もう一度,和の公式やシグマ計算をすることで数列の和を求めることができます。

また,同じ数字が並ぶ数のように一見よく分からない数も,和の形に表すことで一般項を求めることができます。

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2019年 明治大

2019年 明治大$n=19$ のとき
\begin{align*}
\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+\cdots+\dfrac{1}{1+2+\cdots+n}=\dfrac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}}
\end{align*}
である。なお,分数は既約分数にすること。
【解答と考え方】
まず,第 $k$ 項を求める。
\begin{align*}
\dfrac{1}{1+2+\cdots+k}&=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}k(k+1)} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{k(k+1)}
\end{align*}
初項から第 $n$ 項までの和は
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}\dfrac{2}{k(k+1)}&=\Sum{k=1}{n}2\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right) \\[4pt]
&=2\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{2n}{n+1}
\end{align*}
求める和は $n=19$ のときであるから $\dfrac{2\Cdot19}{20}=\dfrac{19}{10}$

2009年 津田塾大

2009年 津田塾大数列
\begin{align*}
a_1=2,~a_2=22,~a_3=222,~\cdots,~a_n=\overbrace{222\cdots2}^{n}
\end{align*}
を考える。$a_n$ を $n$ の式で表せ。
【解答と考え方】
「2が並んでいる」とだけ見るのではなく,和の形で表そう。
\begin{align*}
a_n=2+20+200+\cdots+2\overbrace{000\cdots0}^{n-1}
\end{align*}
和の形で表すことで,初項2,公比10,項数 $n$ の等比数列の和と分かるから一般項を求めることができる。
\begin{align*}
a_n&=\dfrac{2(10^n-1)}{10-1} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{9}(10^n-1)
\end{align*}
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