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【数学ⅡB】三角関数を解とする2次方程式【立命館大・駒澤大・北里大】

三角関数を解とする2次方程式数学IAIIB
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ここでは,三角関数を解とする2次方程式について説明します。

三角関数の相互関係や対称式の変形,さらに2次方程式の解と係数の関係についての総合的な知識が必要となります。

2次方程式の解と係数の関係を忘れている人は,次の記事を読んで復習すると良いでしょう。

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2007年 立命館大

2007年 立命館大2次方程式 $2x^2-x+k=0$ の解が $\sin\theta,~\cos\theta$ であるとき,$k$ の値は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
解と係数の関係より
\begin{align*}
&\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}~\cdots\cdots① \\[4pt]&\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{2}k~\cdots\cdots②
\end{align*}
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ であるから,①,②より
\begin{align*}
&(\sin\theta+\cos\theta)^2-2\sin\theta\cos\theta=1 \\[4pt]&\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-2\Cdota\dfrac{1}{2}k=1 \\[4pt]&\dfrac{1}{4}-k=1 \\[4pt]&k=-\dfrac{3}{4}
\end{align*}

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