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魔法の数字の正体は漸化式の特殊解
ヒロ
ここで何が起こったのか整理しておこう。
ヒロ
「数列 $\{a_n\}$ の各項から1を引いて $a_n-1=b_n$ とすると数列 $\{b_n\}$ が等比数列になった 」つまり「1を引いたことで，定数項が消えて等比型になった」という解釈ができるよね？
ヒロ
ただし，今はその1という数字が分からないから，一旦 $c$ と文字において $c$ を引くと等比型になると考えよう。つまり $a_n-c=b_n$ と置き換えたときに，数列 $\{b_n\}$ が等比数列になるような $c$ が見つかれば良いってことだね。
$a_n-c=b_n$ とおくと，$a_n=b_n+c$ となるから，漸化式に代入すると
\begin{align*}
&b_{n+1}+c=3(b_n+c)-2 \\[4pt]
&b_{n+1}=3b_n+2c-2
\end{align*}
定数項が0になるとき，&b_{n+1}+c=3(b_n+c)-2 \\[4pt]
&b_{n+1}=3b_n+2c-2
\end{align*}
\begin{align*}
&2c-2=0\quad\therefore c=1
\end{align*}
&2c-2=0\quad\therefore c=1
\end{align*}
ヒロ
これで魔法の数字を求めることができたね。ここで，この魔法の数字についてもう少し考えよう。
ヒロ
元の漸化式 $a_{n+1}=3a_n-2$ の初項を1として，第2項以降を求めてみて？
やってみます。
$a_1=1$ だから
\begin{align*}
a_2&=3\Cdota a_1-2 \\[4pt]
&=3\Cdota1-2 \\[4pt]
&=1
\end{align*}
a_2&=3\Cdota a_1-2 \\[4pt]
&=3\Cdota1-2 \\[4pt]
&=1
\end{align*}
1になってしまいました。これだとずっと全部1になりますけど，これって変じゃないですか？
ヒロ
いや，それで合ってるよ。この漸化式で初項を1としてしまうと，漸化式として，意味をなさなくなるんだ。
じゃあ入試で出される漸化式の初項は，そういう値を避けて出されてるんですね。
ヒロ
そういうことだね。でも別の言い方をすると，$a_n=1$ という定数列は漸化式 $a_{n+1}=3a_n-2$ の1つの解ともいえるよね。だから，このような解を特殊解と言うんだ。別に名前を覚える必要はないんだけど，説明するときに使いたいから覚えてくれると，こっちとしては助かる。
特殊解ですね！大丈夫です。
※数列の添字の変化が苦手な人のために補足しておきます。
具体的には，$a_n-c=b_n$ とおいたときに，$a_{n+1}-c=b_{n+1}$ となるのが分からない人のための補足です。
$a_n-c=b_n$ とおくと，$n=1,2,3$ のときは
\begin{align*}
&a_{\color{red}1}-c=b_{\color{red}1} \\[4pt]
&a_{\color{red}2}-c=b_{\color{red}2} \\[4pt]
&a_{\color{red}3}-c=b_{\color{red}3}
\end{align*}
添字が数字なら大丈夫でしょう。次は文字に変えます。&a_{\color{red}1}-c=b_{\color{red}1} \\[4pt]
&a_{\color{red}2}-c=b_{\color{red}2} \\[4pt]
&a_{\color{red}3}-c=b_{\color{red}3}
\end{align*}
$n=k$ のときは，$a_{\color{red}k}-c=b_{\color{red}k}$
$n=m$ のときは，$a_{\color{red}m}-c=b_{\color{red}m}$
$n=r+1$ のときは，$a_{\color{red}r+1}-c=b_{\color{red}r+1}$
このように，添字が数字から文字へ変わっても，結局は添字の部分が対応して変わるだけですね。つまり，$n$ を $n+1$ に変えると，$a_{n+1}+1=b_{n+1}$ となるということです。