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漸化式パターン2:$a_{n+1}=pa_n+q$$~(p\neq1)$ 型の解法

漸化式パターン2 数学IAIIB
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魔法の数字の正体は漸化式の特殊解

ヒロ
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ここで何が起こったのか整理しておこう。

ヒロ
ヒロ

「数列 $\{a_n\}$ の各項から1を引いて $a_n-1=b_n$ とすると数列 $\{b_n\}$ が等比数列になった 」つまり「1を引いたことで,定数項が消えて等比型になった」という解釈ができるよね?

ヒロ
ヒロ

ただし,今はその1という数字が分からないから,一旦 $c$ と文字において $c$ を引くと等比型になると考えよう。つまり $a_n-c=b_n$ と置き換えたときに,数列 $\{b_n\}$ が等比数列になるような $c$ が見つかれば良いってことだね。

$a_n-c=b_n$ とおくと,$a_n=b_n+c$ となるから,漸化式に代入すると
\begin{align*}
&b_{n+1}+c=3(b_n+c)-2 \\[4pt]
&b_{n+1}=3b_n+2c-2
\end{align*}
定数項が0になるとき,
\begin{align*}
&2c-2=0\quad\therefore c=1
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

これで魔法の数字を求めることができたね。ここで,この魔法の数字についてもう少し考えよう。

ヒロ
ヒロ

元の漸化式 $a_{n+1}=3a_n-2$ の初項を1として,第2項以降を求めてみて?

やってみます。

$a_1=1$ だから
\begin{align*}
a_2&=3\Cdota a_1-2 \\[4pt]
&=3\Cdota1-2 \\[4pt]
&=1
\end{align*}

1になってしまいました。これだとずっと全部1になりますけど,これって変じゃないですか?

ヒロ
ヒロ

いや,それで合ってるよ。この漸化式で初項を1としてしまうと,漸化式として,意味をなさなくなるんだ。

じゃあ入試で出される漸化式の初項は,そういう値を避けて出されてるんですね。

ヒロ
ヒロ

そういうことだね。でも別の言い方をすると,$a_n=1$ という定数列は漸化式 $a_{n+1}=3a_n-2$ の1つの解ともいえるよね。だから,このような解を特殊解と言うんだ。別に名前を覚える必要はないんだけど,説明するときに使いたいから覚えてくれると,こっちとしては助かる。

特殊解ですね!大丈夫です。

 
※数列の添字の変化が苦手な人のために補足しておきます。
具体的には,$a_n-c=b_n$ とおいたときに,$a_{n+1}-c=b_{n+1}$ となるのが分からない人のための補足です。
$a_n-c=b_n$ とおくと,$n=1,2,3$ のときは
\begin{align*}
&a_{\color{red}1}-c=b_{\color{red}1} \\[4pt]
&a_{\color{red}2}-c=b_{\color{red}2} \\[4pt]
&a_{\color{red}3}-c=b_{\color{red}3}
\end{align*}
添字が数字なら大丈夫でしょう。次は文字に変えます。
$n=k$ のときは,$a_{\color{red}k}-c=b_{\color{red}k}$
$n=m$ のときは,$a_{\color{red}m}-c=b_{\color{red}m}$
$n=r+1$ のときは,$a_{\color{red}r+1}-c=b_{\color{red}r+1}$
このように,添字が数字から文字へ変わっても,結局は添字の部分が対応して変わるだけですね。
つまり,$n$ を $n+1$ に変えると,$a_{n+1}+1=b_{n+1}$ となるということです。

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