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漸化式パターン2:an+1=pan+q (p1) 型の解法

漸化式パターン2 数学IAIIB
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漸化式パターン2の一般項の公式

ヒロ
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2次方程式に解の公式があるように,漸化式パターン2には一般項の公式があるので,それも知っておこう。

漸化式パターン2の一般項の公式an+1=pan+q (p1) 型の漸化式の一般項は
an=αpn1+β
と表される。
ヒロ
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未知数は α,β の2つなので,適当な2項から求めよう。

a1,a2 から求める場合は,n=1,2 を代入して
{a1=α+βa2=pα+βα=a2a1p1, β=a1pa2p1
ヒロ
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さっきの練習問題の場合は次のようになるよ。

一般項は an=αpn1+β と表せて,n=1,2 のときを考えると
{a1=α+β=3a2=3α+β=11α=4, β=1
よって,an=43n11

漸化式パターン2のまとめ

ヒロ
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an+1an の1次式で表されるパターン2の漸化式は,すべての二項間漸化式の基礎となる。これ以上に複雑な漸化式も,そのほとんどをこのパターン2に帰着させるため,それも含めると目にする機会はかなり多くなる。

特性方程式と特殊解漸化式 an+1=pan+qanan+1 をともに c に変えた方程式を特性方程式という。その方程式の解を特殊解という。
初項 a1 が特殊解の場合,数列 {an} はずっと a1 が続く定数列となる。言い換えると,an にある値を代入しても,その次の項も値が変わらないような値のことを特殊解という。
ヒロ
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隣接二項間漸化式で最も基本となるから,絶対に解けるようにしよう。

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