漸化式パターン2：$a_{n+1}=pa_n+q$$~(p\neq1)$ 型の解法

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漸化式パターン2の一般項の公式

ヒロ

2次方程式に解の公式があるように，漸化式パターン2には一般項の公式があるので，それも知っておこう。

漸化式パターン2の一般項の公式$a_{n+1}=pa_n+q~(p\neq1)$ 型の漸化式の一般項は

\begin{align*}
a_n=\alpha\Cdota p^{n-1}+\beta
\end{align*}

と表される。

ヒロ

未知数は $\alpha,\beta$ の2つなので，適当な2項から求めよう。

$a_1,a_2$ から求める場合は，$n=1,2$ を代入して

\begin{align*}
&\begin{cases}
a_1=\alpha+\beta \\[4pt]
a_2=p\alpha+\beta
\end{cases} \\[4pt]
&\alpha=\dfrac{a_2-a_1}{p-1},~\beta=\dfrac{a_1p-a_2}{p-1}
\end{align*}

ヒロ

さっきの練習問題の場合は次のようになるよ。

一般項は $a_n=\alpha\Cdot p^{n-1}+\beta$ と表せて，$n=1,2$ のときを考えると

\begin{align*}
&\begin{cases}
a_1=\alpha+\beta=3 \\[4pt]
a_2=3\alpha+\beta=11
\end{cases} \\[4pt]
&\alpha=4,~\beta=-1
\end{align*}

よって，$a_n=4\Cdot3^{n-1}-1$

漸化式パターン2のまとめ

ヒロ

$a_{n+1}$ が $a_n$ の1次式で表されるパターン2の漸化式は，すべての二項間漸化式の基礎となる。これ以上に複雑な漸化式も，そのほとんどをこのパターン2に帰着させるため，それも含めると目にする機会はかなり多くなる。

特性方程式と特殊解漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ の $a_n$ と $a_{n+1}$ をともに $c$ に変えた方程式を特性方程式という。その方程式の解を特殊解という。
初項 $a_1$ が特殊解の場合，数列 $\{a_n\}$ はずっと $a_1$ が続く定数列となる。言い換えると，$a_n$ にある値を代入しても，その次の項も値が変わらないような値のことを特殊解という。