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漸化式パターン2の一般項の公式
ヒロ
2次方程式に解の公式があるように，漸化式パターン2には一般項の公式があるので，それも知っておこう。
漸化式パターン2の一般項の公式an+1=pan+q (p≠1) 型の漸化式の一般項は
an=α∙pn−1+β
と表される。ヒロ
未知数は α,β の2つなので，適当な2項から求めよう。
a1,a2 から求める場合は，n=1,2 を代入して
{a1=α+βa2=pα+βα=a2−a1p−1, β=a1p−a2p−1
ヒロ
さっきの練習問題の場合は次のようになるよ。
一般項は an=α∙pn−1+β と表せて，n=1,2 のときを考えると
{a1=α+β=3a2=3α+β=11α=4, β=−1
よって，an=4∙3n−1−1漸化式パターン2のまとめ
ヒロ
an+1 が an の1次式で表されるパターン2の漸化式は，すべての二項間漸化式の基礎となる。これ以上に複雑な漸化式も，そのほとんどをこのパターン2に帰着させるため，それも含めると目にする機会はかなり多くなる。
特性方程式と特殊解漸化式 an+1=pan+q の an と an+1 をともに c に変えた方程式を特性方程式という。その方程式の解を特殊解という。
初項 a1 が特殊解の場合，数列 {an} はずっと a1 が続く定数列となる。言い換えると，an にある値を代入しても，その次の項も値が変わらないような値のことを特殊解という。
初項 a1 が特殊解の場合，数列 {an} はずっと a1 が続く定数列となる。言い換えると，an にある値を代入しても，その次の項も値が変わらないような値のことを特殊解という。
ヒロ
隣接二項間漸化式で最も基本となるから，絶対に解けるようにしよう。
