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【数学IA】方程式の整数解の利用【名城大・関西医科大・慶應義塾大】

余りの条件から整数を決定する数学IAIIB
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ここでは1次不定方程式の整数解を利用する問題について説明します。

1次不定方程式の解き方について,この記事ではそれほど詳しく説明していないため,「1次不定方程式って何それ?」という方は次の記事から知識を吸収してください。

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余りの条件から整数を求める問題

ヒロ
ヒロ

まずは丁寧な誘導がある問題を解くことで考え方に慣れよう。

2020年 名城大46で割ると余りが7であり,97で割ると余りが11であるような自然数のうち,4桁で最大のものを $n$ とする。以下,$n$ を求めたい。
条件から,$n$ は自然数 $x,~y$ を用いて,
\begin{align*}
n=46x+7=97y+11
\end{align*}
と表される。これを整理すると,
\begin{align*}
46x-97y=\myhako
\end{align*}
となる。このとき,46と97についての互除法の計算より,
\begin{align*}
1&=46-\myBox{ア}\times\myhako \\[4pt]&=46-\mybox{ア}\times\left(97-\myhako\times46\right) \\[4pt]&=\myhako\times46-\myhako\times97
\end{align*}
が成り立つ。よって,
\begin{align*}
46\left(x-\myBox{イ}\right)=97\left(y-\myBox{ウ}\right)
\end{align*}
となる。ただし,$0\leqq\mybox{イ}<97$, $0\leqq\mybox{ウ}<46$ とする。46と97は互いに素であるから,$x$ は整数 $k$ を用いて
\begin{align*} x=97k+\myhako \end{align*}
と表される。$n$ の最大性より,$n=\myhako$ である。
【考え方と解答】
誘導に乗って解いていこう。 $46x+7=97y+11$ より
\begin{align*} 46x-97y=4 \end{align*}
互除法の計算をしていく。
\begin{align*} &97=46\times2+5 \\[4pt] &46=5\times9+1 \end{align*}
この計算結果から
\begin{align*} 1&=46-9\times5 \\[4pt] &=46-9\times(97-2\times46) \\[4pt] &=19\times46-9\times97 \end{align*}
が成り立つ。両辺に4をかけて
\begin{align*} 46\times76-97\times36=4 \end{align*}
したがって
\begin{align*} &46(x-76)-97(y-36)=0 \\[4pt] &46(x-76)=97(y-36) \end{align*}
46と97は互いに素であるから,整数 $k$ を用いて
\begin{align*} &x-76=97k \\[4pt] &x=97k+76 \end{align*}
と表される。このとき
\begin{align*} n&=46(97k+76)+7 \\[4pt] &=4462k+3503 \end{align*}
$n$ が4桁で最大の整数になるのは $k=1$ のときであり,このとき
\begin{align*} n=4462+3503=7965 \end{align*}

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