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漸化式パターン2の練習【2014年 北海学園大】
ヒロ
それでは2014年に北海学園大で出題された問題で練習しておこう。
2014年 北海学園大数列 $\{a_n\}$ が $a_1=3,a_{n+1}=3a_n+2$$~(n=1,2,3,\cdots)$ で定められている。
(1) $a_2,a_4$ の値を求めよ。
(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(1) $a_2,a_4$ の値を求めよ。
(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
ヒロ
今回与えられているのは，2項間の漸化式だから，1つの項が分かっていれば，その次の項を求めることができるね。
$n$ に1から順に代入していけば求められますね。
$n=1$ を代入すると，
\begin{align*}
a_2&=3a_1+2 \\[4pt]
&=3\Cdota3+2 \\[4pt]
&=11
\end{align*}
$n=2$ を代入するとa_2&=3a_1+2 \\[4pt]
&=3\Cdota3+2 \\[4pt]
&=11
\end{align*}
\begin{align*}
a_3&=3a_2+2 \\[4pt]
&=3\Cdota11+2 \\[4pt]
&=35
\end{align*}
$n=3$ を代入するとa_3&=3a_2+2 \\[4pt]
&=3\Cdota11+2 \\[4pt]
&=35
\end{align*}
\begin{align*}
a_4&=3a_3+2 \\[4pt]
&=3\Cdota35+2 \\[4pt]
&=107
\end{align*}
a_4&=3a_3+2 \\[4pt]
&=3\Cdota35+2 \\[4pt]
&=107
\end{align*}
要は「3倍して2を加える」だけですからね。ただ，$a_2$ を間違えると，同時に $a_4$ も間違いになってしまうので，注意が必要ですね！
ヒロ
こういう簡単な問題こそ，注意深く計算することが重要だね。では(2)に進もう。
まずは特性方程式を解きます。
\begin{align*}
&c=3c+2 \\[4pt]
&c=-1
\end{align*}
&c=3c+2 \\[4pt]
&c=-1
\end{align*}
数列 $\{a_n-c\}$ が等比数列になるはずだから・・・
\begin{align*}
&a_{n+1}-(-1)=(3a_n+2)-(-1) \\[4pt]
&a_{n+1}+1=3a_n+3 \\[4pt]
&a_{n+1}+1=3(a_n+1)
\end{align*}
よって，数列 $\{a_n+1\}$ は公比3の等比数列で，$a_1=3$ だから，&a_{n+1}-(-1)=(3a_n+2)-(-1) \\[4pt]
&a_{n+1}+1=3a_n+3 \\[4pt]
&a_{n+1}+1=3(a_n+1)
\end{align*}
\begin{align*}
&a_n+1=(a_1+1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]
&a_n=4\Cdota3^{n-1}-1
\end{align*}
&a_n+1=(a_1+1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]
&a_n=4\Cdota3^{n-1}-1
\end{align*}
$n=1$ とすると，$a_1=4-1=3$ となるから大丈夫ですね。
ヒロ
ちゃんと確認もしたのはいいね。カンペキだ。