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パターン6に変形する
ヒロ
漸化式が $a_{n+1}=p+\dfrac{q}{a_n}$ となっているときは，パターン6の隣接三項間漸化式に変形する解法もあるので紹介しておく。
2019年 山口大（漸化式のみ利用）次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ がある。
\begin{align*}
a_1=1,~a_{n+1}=2+\dfrac{3}{a_n}~(n=1,2,3,\cdots)
\end{align*}
一般項 $a_n$ を求めよ。a_1=1,~a_{n+1}=2+\dfrac{3}{a_n}~(n=1,2,3,\cdots)
\end{align*}
【解答】
$a_{n+1}=2+\dfrac{3}{a_n}$ の両辺に $a_na_{n-1}\cdots a_2a_1$ を掛けると $n\geqq2$ のとき
$a_{n+1}=2+\dfrac{3}{a_n}$ の両辺に $a_na_{n-1}\cdots a_2a_1$ を掛けると $n\geqq2$ のとき
\begin{align*}
a_{n+1}a_na_{n-1}\cdots a_2a_1=2a_na_{n-1}\cdots a_2a_1+3a_{n-1}\cdots a_2a_1
\end{align*}
が成り立つ。$b_n=a_na_{n-1}\cdots a_2a_1$ とおくとa_{n+1}a_na_{n-1}\cdots a_2a_1=2a_na_{n-1}\cdots a_2a_1+3a_{n-1}\cdots a_2a_1
\end{align*}
\begin{align*}
b_{n+1}=2b_n+3b_{n-1}
\end{align*}
なるから，$n\geqq1$ のときb_{n+1}=2b_n+3b_{n-1}
\end{align*}
\begin{align*}
b_{n+2}=2b_{n+1}+3b_n
\end{align*}
が成り立つ。これよりb_{n+2}=2b_{n+1}+3b_n
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
b_{n+2}-3b_{n+1}=-(b_{n+1}-3b_n) \\[4pt]b_{n+2}+b_{n+1}=3(b_{n+1}+b_n)
\end{cases}
\end{align*}
ここで\begin{cases}
b_{n+2}-3b_{n+1}=-(b_{n+1}-3b_n) \\[4pt]b_{n+2}+b_{n+1}=3(b_{n+1}+b_n)
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
&b_1=a_1=1 \\[4pt]&b_2=a_2a_1=\left(2+\dfrac{3}{a_1}\right)a_1=2a_1+3=5
\end{align*}
数列 $\{b_{n+1}-3b_n\}$ は公比 $-1$ の等比数列であるから&b_1=a_1=1 \\[4pt]&b_2=a_2a_1=\left(2+\dfrac{3}{a_1}\right)a_1=2a_1+3=5
\end{align*}
\begin{align*}
&b_{n+1}-3b_n=(b_2-3b_1)(-1)^{n-1} \\[4pt]&b_{n+1}-3b_n=2(-1)^{n-1}~\cdots\cdots①
\end{align*}
また，数列 $\{b_{n+1}+b_n\}$ は公比3の等比数列であるから&b_{n+1}-3b_n=(b_2-3b_1)(-1)^{n-1} \\[4pt]&b_{n+1}-3b_n=2(-1)^{n-1}~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
&b_{n+1}+b_n=(b_2+b_1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]&b_{n+1}+b_n=2\Cdota3^n~\cdots\cdots②
\end{align*}
$\dfrac{②-①}{4}$ より&b_{n+1}+b_n=(b_2+b_1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]&b_{n+1}+b_n=2\Cdota3^n~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
&b_n=\dfrac{2\Cdot3^n-2(-1)^{n-1}}{4} \\[4pt]&b_n=\dfrac{3^n+(-1)^n}{2}
\end{align*}
$n\geqq2$ において&b_n=\dfrac{2\Cdot3^n-2(-1)^{n-1}}{4} \\[4pt]&b_n=\dfrac{3^n+(-1)^n}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
b_n&=a_na_{n-1}\cdots a_2a_1 \\[4pt]&=a_nb_{n-1}
\end{align*}
が成り立つから，b_n&=a_na_{n-1}\cdots a_2a_1 \\[4pt]&=a_nb_{n-1}
\end{align*}
\begin{align*}
a_n&=\dfrac{b_n}{b_{n-1}} \\[4pt]&=\dfrac{\dfrac{3^n+(-1)^n}{2}}{\dfrac{3^{n-1}+(-1)^{n-1}}{2}} \\[4pt]&=\dfrac{3^n+(-1)^n}{3^{n-1}+(-1)^{n-1}}
\end{align*}
これは $n=1$ のときも成り立つ。a_n&=\dfrac{b_n}{b_{n-1}} \\[4pt]&=\dfrac{\dfrac{3^n+(-1)^n}{2}}{\dfrac{3^{n-1}+(-1)^{n-1}}{2}} \\[4pt]&=\dfrac{3^n+(-1)^n}{3^{n-1}+(-1)^{n-1}}
\end{align*}