漸化式パターン11：分数型($a_{n+1}=(pa_n+q)/(ra_n+s)$)の解法

Contents [hide]

ページ1
1 パターン1に変形する誘導
ページ2
1 パターン2に変形する誘導
ページ3
1 パターン4に変形する誘導
ページ4
1 パターン10に変形する誘導
ページ5
1 パターン6に変形する
ページ6
漸化式パターン11 $a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+s}$ 型の解法
ページ7
1 練習問題
2 まとめ

パターン4に変形する誘導

2019年兵庫医科大

$a_1=2,~a_{n+1}=\dfrac{2a_n+4}{a_n+5}$ で定義される数列

$\{a_n\}$ について，次の問いに答えよ。
(1)

$b_n=a_n+4$ とおくとき，

$b_{n+1}$ と

$b_n$ の関係式を求めよ。
(2) 一般項

$a_n$ を求めよ。

ヒロ

誘導通りに進めていくだけだね。

【(1)の解答】

$b_n=a_n+4$ とおくとき，

$\begin{align*} b_{n+1}&=a_{n+1}+4 \\[4pt] &=\dfrac{2a_n+4}{a_n+5}+4 \\[4pt] &=\dfrac{6(a_n+4)}{a_n+5} \\[4pt] &=\dfrac{6b_n}{b_n+1} \end{align*}$

ヒロ

これでパターン4になったね。逆数をとって解いていこう。そのために $b_n\neq0$ を示す必要がある。つまり $a_n\neq-4$ を示す必要がある。

【(2)の解答】

$a_{n+1}=-4$ となる自然数

$n$ が存在すると仮定すると，漸化式より

$\begin{align*} &\dfrac{2a_n+4}{a_n+5}=-4 \\[4pt] &2a_n+4=-4(a_n+5) \\[4pt] &a_n=-4 \end{align*}$

となる。これを繰り返すことにより，

$a_1=-4$ となるが，これは

$a_1=2\neq-4$ であることに矛盾する。よって，常に

$a_n\neq-4$ である。

ヒロ

これで両辺の逆数をとる準備ができたね。

【(2)の解答の続き】
常に

$b_n=a_n+4\neq0$ であるから，

$b_{n+1}=\dfrac{6b_n}{b_n+1}$ の両辺の逆数をとると

$\begin{align*} &\dfrac{1}{b_{n+1}}=\dfrac{1}{6}\Cdota\dfrac{1}{b_n}+\dfrac{1}{6} \\[4pt] \end{align*}$

$\dfrac{1}{b_n}=c_n$ とおくと

$\begin{align*} &c_{n+1}=\dfrac{1}{6}c_n+\dfrac{1}{6} \\[4pt] &c_{n+1}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{6}\left(c_n-\dfrac{1}{5}\right) \end{align*}$

数列

$\left\{c_n-\dfrac{1}{5}\right\}$ は公比

$\dfrac{1}{6}$ の等比数列であり，

$\begin{align*} c_1-\dfrac{1}{5}&=\dfrac{1}{b_1}-\dfrac{1}{5} \\[4pt] &=\dfrac{1}{a_1+4}-\dfrac{1}{5} \\[4pt] &=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{30} \end{align*}$

であるから

$\begin{align*} &c_n-\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{30}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n-1} \\[4pt] &c_n=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n=\dfrac{6^n-1}{5\Cdot6^n} \end{align*}$

よって，

$b_n=\dfrac{5\Cdot6^n}{6^n-1}$

$a_n=b_n-4$ より，

$\begin{align*} &a_n=\dfrac{5\Cdot6^n}{6^n-1}-4 \\[4pt] &a_n=\dfrac{6^n+4}{6^n-1} \end{align*}$