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パターン4に変形する誘導
2019年 兵庫医科大$a_1=2,~a_{n+1}=\dfrac{2a_n+4}{a_n+5}$ で定義される数列 $\{a_n\}$ について，次の問いに答えよ。
(1) $b_n=a_n+4$ とおくとき，$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係式を求めよ。
(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。
(1) $b_n=a_n+4$ とおくとき，$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係式を求めよ。
(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。
ヒロ
誘導通りに進めていくだけだね。
【(1)の解答】
$b_n=a_n+4$ とおくとき，
$b_n=a_n+4$ とおくとき，
\begin{align*}
b_{n+1}&=a_{n+1}+4 \\[4pt]
&=\dfrac{2a_n+4}{a_n+5}+4 \\[4pt]
&=\dfrac{6(a_n+4)}{a_n+5} \\[4pt]
&=\dfrac{6b_n}{b_n+1}
\end{align*}
b_{n+1}&=a_{n+1}+4 \\[4pt]
&=\dfrac{2a_n+4}{a_n+5}+4 \\[4pt]
&=\dfrac{6(a_n+4)}{a_n+5} \\[4pt]
&=\dfrac{6b_n}{b_n+1}
\end{align*}
ヒロ
これでパターン4になったね。逆数をとって解いていこう。そのために $b_n\neq0$ を示す必要がある。つまり $a_n\neq-4$ を示す必要がある。
【(2)の解答】
$a_{n+1}=-4$ となる自然数 $n$ が存在すると仮定すると，漸化式より
$a_{n+1}=-4$ となる自然数 $n$ が存在すると仮定すると，漸化式より
\begin{align*}
&\dfrac{2a_n+4}{a_n+5}=-4 \\[4pt]
&2a_n+4=-4(a_n+5) \\[4pt]
&a_n=-4
\end{align*}
となる。これを繰り返すことにより，$a_1=-4$ となるが，これは $a_1=2\neq-4$ であることに矛盾する。よって，常に $a_n\neq-4$ である。&\dfrac{2a_n+4}{a_n+5}=-4 \\[4pt]
&2a_n+4=-4(a_n+5) \\[4pt]
&a_n=-4
\end{align*}
ヒロ
これで両辺の逆数をとる準備ができたね。
【(2)の解答の続き】
常に $b_n=a_n+4\neq0$ であるから，$b_{n+1}=\dfrac{6b_n}{b_n+1}$ の両辺の逆数をとると
$a_n=b_n-4$ より，
常に $b_n=a_n+4\neq0$ であるから，$b_{n+1}=\dfrac{6b_n}{b_n+1}$ の両辺の逆数をとると
\begin{align*}
&\dfrac{1}{b_{n+1}}=\dfrac{1}{6}\Cdota\dfrac{1}{b_n}+\dfrac{1}{6} \\[4pt]
\end{align*}
$\dfrac{1}{b_n}=c_n$ とおくと&\dfrac{1}{b_{n+1}}=\dfrac{1}{6}\Cdota\dfrac{1}{b_n}+\dfrac{1}{6} \\[4pt]
\end{align*}
\begin{align*}
&c_{n+1}=\dfrac{1}{6}c_n+\dfrac{1}{6} \\[4pt]
&c_{n+1}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{6}\left(c_n-\dfrac{1}{5}\right)
\end{align*}
数列 $\left\{c_n-\dfrac{1}{5}\right\}$ は公比 $\dfrac{1}{6}$ の等比数列であり，&c_{n+1}=\dfrac{1}{6}c_n+\dfrac{1}{6} \\[4pt]
&c_{n+1}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{6}\left(c_n-\dfrac{1}{5}\right)
\end{align*}
\begin{align*}
c_1-\dfrac{1}{5}&=\dfrac{1}{b_1}-\dfrac{1}{5} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{a_1+4}-\dfrac{1}{5} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{30}
\end{align*}
であるからc_1-\dfrac{1}{5}&=\dfrac{1}{b_1}-\dfrac{1}{5} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{a_1+4}-\dfrac{1}{5} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{30}
\end{align*}
\begin{align*}
&c_n-\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{30}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n-1} \\[4pt]
&c_n=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n=\dfrac{6^n-1}{5\Cdot6^n}
\end{align*}
よって，$b_n=\dfrac{5\Cdot6^n}{6^n-1}$&c_n-\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{30}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n-1} \\[4pt]
&c_n=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n=\dfrac{6^n-1}{5\Cdot6^n}
\end{align*}
$a_n=b_n-4$ より，
\begin{align*}
&a_n=\dfrac{5\Cdot6^n}{6^n-1}-4 \\[4pt]
&a_n=\dfrac{6^n+4}{6^n-1}
\end{align*}
&a_n=\dfrac{5\Cdot6^n}{6^n-1}-4 \\[4pt]
&a_n=\dfrac{6^n+4}{6^n-1}
\end{align*}