2016年 センター試験 数学ⅡB 第1問 三角関数

ここでは2016年センター試験数学ⅡB 第1問三角関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2016年センターⅡB 三角関数$k$ を正の定数として

\begin{align*}
\cos^2x-\sin^2x+k\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-\dfrac{1}{\sin^2x}\right)=0 ~\cdots\cdots①
\end{align*}

を満たす $x$ について考える。
(1) $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たす $x$ の個数について考えよう。
　①の両辺に $\sin^2x\cos^2x$ をかけ，2倍角の公式を用いて変形すると

\begin{align*}
\left(\dfrac{\sin^22x}{\myBox{チ}}-k\right)\cos2x=0 ~\cdots\cdots②
\end{align*}

を得る。したがって，$k$ の値に関係なく，$x=\dfrac{\pi}{\myBox{ツ}}$ のときはつねに①が成り立つ。また，$0<x<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $0<\sin^22x\leqq1$ であるから，$k>\dfrac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}$ のとき，①を満たす $x$ は $\dfrac{\pi}{\mybox{ツ}}$ のみである。一方，$0<k<\dfrac{\mybox{テ}}{\mybox{ト}}$ のとき，①を満たす $x$ の個数は $\myBox{ナ}$ 個であり，$k=\dfrac{\mybox{テ}}{\mybox{ト}}$ のときは $\myBox{ニ}$ 個である。
　(2) $k=\dfrac{4}{25}$ とし，$\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たす $x$ について考えよう。
　②により $\sin2x=\dfrac{\myBox{ヌ}}{\myBox{ネ}}$ であるから

\begin{align*}
\cos2x=\dfrac{\myBox{ノハ}}{\myBox{ヒ}}
\end{align*}

である。したがって

\begin{align*}
\cos x=\dfrac{\sqrt{\myBox{フ}}}{\myBox{ヘ}}
\end{align*}

である。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 2016年センター数学IIB 三角関数を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

誘導通りに変形していこう。

【チの解答】
①の両辺に $\sin^2x\cos^2x$ をかけると

\begin{align*}
&\sin^2x\cos^2x(\cos^2x-\sin^2x)+k(\sin^2x-\cos^2x)=0 \\[4pt]
&(\sin^2x\cos^2x-k)(\cos^2x-\sin^2x)=0 \\[4pt]
&\left(\dfrac{\sin^22x}{4}-k\right)\cos2x=0
\end{align*}

ヒロ

$k$ の値に関係ない①の解を求めよう。

【ツの解答】
$k$ の値に関係なく①が成り立つのは

\begin{align*}
\cos2x=0
\end{align*}

となるときである。$0<2x<\pi$ より

\begin{align*}
&2x=\dfrac{\pi}{2} \\[4pt]
&x=\dfrac{\pi}{4}
\end{align*}

ヒロ

次の $\myBox{テ}$ と $\myBox{ト}$ はちゃんと意味を考えよう。

【テ～ナの解答】
①を満たす $x$ が $\dfrac{\pi}{4}$ のみになるのは，

\begin{align*}
\dfrac{\sin^22x}{4}-k=0
\end{align*}

が解をもたないときである。
ここで，$0<x<\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$0<\sin^22x\leqq1$ より，

\begin{align*}
&-k<\dfrac{\sin^22x}{4}-k\leqq\dfrac{1}{4}-k
\end{align*}

となる。$k>0$ であることを考えると，

\begin{align*}
\dfrac{1}{4}-k<0
\end{align*}

となるとき，$\dfrac{\sin^22x}{4}-k=0$ は解をもたない。
よって，$k>\dfrac{1}{4}$ のとき，①を満たす $x$ は $\dfrac{\pi}{4}$ のみである。

ヒロ

次は解の個数を求める問題。

【ナニの解答】
$0<k<\dfrac{1}{4}$ のとき，$\dfrac{\sin^22x}{4}-k$ は負の値 $-k$ から，正の値 $\dfrac{1}{4}-k$ まで取り得るから

\begin{align*}
\dfrac{\sin^22x}{4}-k=0
\end{align*}

を満たす $x$ が存在する。$0<x<\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$0<2x<\pi$ より，$\sin2x>0$ であるから

\begin{align*}
\sin2x=2\sqrt{k}
\end{align*}

よって，これを満たす $2x$ は2個存在する。このうち一方は $0<2x<\dfrac{\pi}{2}$ すなわち $0<x<\dfrac{\pi}{4}$ の部分にある。もう一方は $\dfrac{\pi}{2}<2x<\pi$ すなわち $\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{2}$ の部分にある。

2個とも $\dfrac{\pi}{4}$ と異なるから，$x=\dfrac{\pi}{4}$ と合わせて，①を満たす $x$ の個数は3個である。

ヒロ

(1)の最後は $k$ の値が定まっているから楽だろう。

【ニの解答】
$k=\dfrac{1}{4}$ のとき，$2\sqrt{k}=1$ であるから，$\dfrac{\sin^22x}{4}-k=0$ を解くと

\begin{align*}
&\sin2x=1 \\[4pt]
&2x=\dfrac{\pi}{2} \\[4pt]
&x=\dfrac{\pi}{4}
\end{align*}

これは $k$ の値と関係ない解 $x=\dfrac{\pi}{4}$ と一致するから，①を満たす $x$ の個数は1個である。

(2)の解答

　(2) $k=\dfrac{4}{25}$ とし，$\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たす $x$ について考えよう。
　②により $\sin2x=\dfrac{\myBox{ヌ}}{\myBox{ネ}}$ であるから
\begin{align*}
\cos2x=\dfrac{\myBox{ノハ}}{\myBox{ヒ}}
\end{align*}
である。したがって
\begin{align*}
\cos x=\dfrac{\sqrt{\myBox{フ}}}{\myBox{ヘ}}
\end{align*}
である。