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正射影ベクトル

ヒロ
さっきの図において,→OH を →a, →b で表したい場合は次のようにしよう。
|→a∙→b|=|→a||→OH| より
|→OH|=|→a∙→b||→a|
ここで,分子の絶対値記号を外すと,OHの符号付き長さになるから,正射影ベクトル →OH は→OH=→a∙→b|→a|⋅→a|→a|=→a∙→b|→a|2→a
と表すことができる。また,これより→BH=→OH−→OB=→a∙→b|→a|2→a−→b
となるから,OAに垂直な方向のベクトルも,→a と →b で簡単に表すことができる。点と直線の距離の公式の証明

ヒロ
それでは,ベクトルの内積の図形的意味を考えることで,点と直線の距離の公式の証明をしていくよ。

はい,お願いします!
下図のように,直線 ℓ:ax+by+c=0 と点 P(x0,y0) との距離を d とする。
直線 ℓ の単位法線ベクトルを →n とする。|→n|=1 であるから,→AP と →n の内積の図形的意味を考えると,d=|→n∙→AP| となる。

光をどう当ててるのか分かりません。

ヒロ
照明を用意したよ。
PH と平行な直線AH′ を考え,スクリーンを直線 AH′ 上の →n であると考える。

→n をスクリーンとして,スクリーンに垂直な光を当てると,スクリーンからはみ出るけど,AP の影が AH′ となる。よって,|→n∙→AP|=|→n|×AH′
AH′=HP=d,|→n|=1 より,d=|→n∙→AP|

なるほど!分かりました。

ヒロ
では,具体的に d を求めていくよ。
直線 ℓ 上の点 A の座標を (p,q) とすると,ap+bq+c=0 ⋯ ①が成り立ち,→AP=(x0−p,y0−q) となる。また,→n=1√a2+b2(a,b) であるから,
d=|1√a2+b2(a,b)∙(x0−p,y0−q)|=|a(x0−p)+b(y0−q)|√a2+b2=|ax0+by0−(ap+bq)|√a2+b2
ここで,①より,ap+bq=−c であるから,d=|ax0+by0+c|√a2+b2

ベクトルで考えると計算が楽になりますね!

ヒロ
内積の図形的意味は色々な問題で利用できるから,使いこなせるようにしよう!

ヒロ
ベクトルを使わない「点と直線の距離の公式の証明」を,次の記事で説明している。
ベクトルの内積の図形的意味についてのまとめ

ヒロ
今回は平面上にある点と直線の距離の問題を扱ったけど,内積自体は空間でも同様に考えることができるため,点と平面の距離を知りたいときなどにも応用できるよ。

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