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ベクトルの内積の図形的意味とは?

数学IAIIB
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正射影ベクトル

ヒロ
ヒロ

さっきの図において,OHa, b で表したい場合は次のようにしよう。

|ab|=|a||OH| より
|OH|=|ab||a|
ここで,分子の絶対値記号を外すと,OHの符号付き長さになるから,正射影ベクトル OH
OH=ab|a|a|a|=ab|a|2a
と表すことができる。また,これより
BH=OHOB=ab|a|2ab
となるから,OAに垂直な方向のベクトルも,ab で簡単に表すことができる。

点と直線の距離の公式の証明

ヒロ
ヒロ

それでは,ベクトルの内積の図形的意味を考えることで,点と直線の距離の公式の証明をしていくよ。

はい,お願いします!

下図のように,直線 :ax+by+c=0 と点 P(x0,y0) との距離を d とする。

点と直線との距離

直線 の単位法線ベクトルを n とする。|n|=1 であるから,APn の内積の図形的意味を考えると,d=|nAP| となる。

直線 ax+by+c=0 の法線ベクトル n は,n=(a,b) と表される。

光をどう当ててるのか分かりません。

ヒロ
ヒロ

照明を用意したよ。

PH と平行な直線AH を考え,スクリーンを直線 AH 上の n であると考える。
点と直線の距離 正射影

n をスクリーンとして,スクリーンに垂直な光を当てると,スクリーンからはみ出るけど,AP の影が AH となる。よって,|nAP|=|n|×AH

AH=HP=d,|n|=1 より,d=|nAP|

なるほど!分かりました。

ヒロ
ヒロ

では,具体的に d を求めていくよ。

直線 上の点 A の座標を (p,q) とすると,ap+bq+c=0  ①が成り立ち,AP=(x0p,y0q) となる。また,n=1a2+b2(a,b) であるから,
d=|1a2+b2(a,b)(x0p,y0q)|=|a(x0p)+b(y0q)|a2+b2=|ax0+by0(ap+bq)|a2+b2
ここで,①より,ap+bq=c であるから,
d=|ax0+by0+c|a2+b2

ベクトルで考えると計算が楽になりますね!

ヒロ
ヒロ

内積の図形的意味は色々な問題で利用できるから,使いこなせるようにしよう!

ヒロ
ヒロ

ベクトルを使わない「点と直線の距離の公式の証明」を,次の記事で説明している。

ベクトルの内積の図形的意味についてのまとめ

ヒロ
ヒロ

今回は平面上にある点と直線の距離の問題を扱ったけど,内積自体は空間でも同様に考えることができるため,点と平面の距離を知りたいときなどにも応用できるよ。

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