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置換しないで積分したい積分問題

置換しないで積分したい積分問題数学III

(3)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

合成関数では外側の関数の不定積分を考えよう。

ヒロ
ヒロ

ここで外側の関数とは,$f(g(x))$ であれば,$f(x)$ のことである。

ヒロ
ヒロ

今回の $\sin(4x-1)$ は,$f(x)=\sin x$, $g(x)=4x-1$ とおくと,$\sin(4x-1)=f(g(x))$ と表すことができる。

ヒロ
ヒロ

つまり,外側の関数は $\sin x$ ということ。

【外側の積分を考えた後で係数を調整】
$\sin x$ の不定積分の1つが $-\cos x$ であるから,$x$ を $4x-1$ にして,係数を書くスペースを空けて $-\cos(4x-1)$ と書こう。
\begin{align*}
\dint{}{}\sin(4x-1)dx=- \cos(4x-1)+C
\end{align*}
$-\cos(4x-1)$ を微分すると,
\begin{align*}
(-\cos(4x-1))’=\sin(4x-1)\times4
\end{align*}
となることを暗算ですると,4で割れば元に戻ることが分かる。
\begin{align*}
\dint{}{}\sin(4x-1)dx=-\dfrac{1}{4}\cos(4x-1)+C
\end{align*}

(4)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

指数関数の積分は苦手な人が多い印象がある。

【指数関数の不定積分の考え方と解答】
$2^x$ の不定積分の1つが $\dfrac{2^x}{\log2}$ であるから,$x$ を $4x+1$ にして
次のように書こう。
\begin{align*}
\dint{}{}2^{4x+1}dx=\dfrac{2^{4x+1}}{\log2}+C
\end{align*}
係数を決めるために $2^{4x+1}$ を微分すると
\begin{align*}
(2^{4x+1})’=2^{4x+1}\times4
\end{align*}
となることを暗算でして係数を調整する。
\begin{align*}
\dint{}{}2^{4x+1}dx&=\dfrac{2^{4x+1}}{4\log2}+C \\[4pt]
&=\dfrac{2^{4x-1}}{\log2}+C
\end{align*}

(5)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

分数関数の積分でも,分子が分母の定数倍になっているものだけは得意な人が多い気がする。

【単純な分数関数の不定積分の考え方と解答】
$\dfrac{1}{x}$ の不定積分の1つが $\log\abs{x}$ であるから,$x$ を $2-3x$ にして,
係数の部分を空けて次のように書こう。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{2-3x}dx= \log\abs{2-3x}+C
\end{align*}
係数を決めるために $\log\abs{2-3x}$ を微分すると
\begin{align*}
(\log\abs{2-3x})’=\dfrac{-3}{2-3x}
\end{align*}
となるから,求める不定積分は次のようになる。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{2-3x}dx=-\dfrac{1}{3}\log\abs{2-3x}+C
\end{align*}

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