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置換しないで積分したい積分問題

置換しないで積分したい積分問題数学III

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積分問題3

ヒロ
ヒロ

それでは次の問題を解いてみよう。

問題3次の不定積分を求めよ。
(1) $\dint{}{}x(2x+1)^4dx$
(2) $\dint{}{}\dfrac{6x+1}{(3x-1)^3}dx$
(3) $\dint{}{}\dfrac{3x-1}{\sqrt{x+1}}dx$
(4) $\dint{}{}x^2\sqrt{x+2}dx$

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

(1)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

$(2x+1)^5$ の前に余計な $x$ がくっついていて邪魔だなと思うはず。

ヒロ
ヒロ

そういう場合は $x$ を $2x+1$ に直して元の式と一致するように調整しよう。

【(1)の考え方と解答】
\begin{align*}
\dint{}{}x(2x+1)^4dx
&=\dint{}{}\left\{\dfrac{1}{2}(2x+1)-\dfrac{1}{2}\right\}(2x+1)^4dx \\[4pt]
&=\dint{}{}\left\{\dfrac{1}{2}(2x+1)^5-\dfrac{1}{2}(2x+1)^4\right\}dx
\end{align*}
ここまで変形できれば,あとはこれまでの問題と同じ方法で不定積分を求めるだけ。第1項は次数が1つ上がって6になることと,$x$ の係数が2であることから,12で割れば良いし,第2項は次数が1つ上がって5になることと,$x$ の係数が2であることから,10で割れば良い。
\begin{align*}
\dint{}{}x(2x+1)^4dx
&=\dfrac{1}{24}(2x+1)^6-\dfrac{1}{20}(2x+1)^5+C \\[4pt]
&=\dfrac{1}{120}(2x+1)^5\{5(2x+1)-6\}+C \\[4pt]
&=\dfrac{1}{120}(10x-1)(2x+1)^5+C
\end{align*}

(2)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

分子の $6x+1$ を $3x-1$ で表すように変形しよう。

【(2)の考え方と解答】
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{6x+1}{(3x-1)^3}dx
&=\dint{}{}\dfrac{2(3x-1)+3}{(3x-1)^3}dx \\[4pt]
&=\dint{}{}\left\{\dfrac{2}{(3x-1)^2}+\dfrac{3}{(3x-1)^3}\right\}dx \\[4pt]
&=-\dfrac{2}{3(3x-1)}-\dfrac{1}{2(3x-1)^2}+C \\[4pt]
&=-\dfrac{4(3x-1)+3}{6(3x-1)^2}+C \\[4pt]
&=-\dfrac{12x-1}{6(3x-1)^2}+C
\end{align*}

(3)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

この問題では $\dfrac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$ と難なく変形できると楽に感じる。

【(3)の考え方と解答】
分子の方が次数が高いから次数下げをしよう。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{3x-1}{\sqrt{x+1}}dx
&=\dint{}{}\dfrac{3(x+1)-4}{\sqrt{x+1}}dx \\[4pt]
&=\dint{}{}\left(3\sqrt{x+1}-\dfrac{4}{\sqrt{x+1}}\right)dx
\end{align*}
これ以降はこれまでと同じ考え方でできるね。
第1項の係数は $\dfrac{2}{3}\times3$ を計算して2になることが分かる。
第2項の係数は $2\times4=8$ となることが分かる。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{3x-1}{\sqrt{x+1}}dx
&=\dint{}{}\left(3\sqrt{x+1}-\dfrac{4}{\sqrt{x+1}}\right)dx \\[4pt]
&=2(x+1)\sqrt{x+1}-8\sqrt{x+1}+C \\[4pt]
&=2(x-3)\sqrt{x+1}+C
\end{align*}

(4)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

前にくっついている $x^2$ を $x+2$ で表そう。

【(4)の考え方と解答】
\begin{align*}
&\dint{}{}x^2\sqrt{x+2}dx \\[4pt]
&=\dint{}{}\{(x+2)^2-4(x+2)+4\}\sqrt{x+2}dx \\[4pt]
&=\dint{}{}\{(x+2)^2\sqrt{x+2}-4(x+2)\sqrt{x+2}+4\sqrt{x+2}\}dx \\[4pt]
&=\dfrac{2}{7}(x+2)^3\sqrt{x+2}-\dfrac{8}{5}(x+2)^2\sqrt{x+2}+\dfrac{8}{3}(x+2)\sqrt{x+2}+C \\[4pt]
&=\dfrac{2}{105}\{15(x+2)^2-84(x+2)+140\}(x+2)\sqrt{x+2}+C \\[4pt]
&=\dfrac{2}{105}(15x^2-24x+32)(x+2)\sqrt{x+2}+C
\end{align*}

置換しないで積分しよう

ヒロ
ヒロ

置換しないで積分する方法を具体的な問題で説明したが,人によっては置換した方が計算しやすいという場合もあるだろう。

ヒロ
ヒロ

やりやすい方法・速い方法で積分してくれれば良いが,定積分の場合は変数の対応や積分区間の変化など,色々記述する必要があるため,僕にとってはそれが面倒に感じる。

ヒロ
ヒロ

置換せずに積分できるなら置換せずに積分した方が良いという立場。

ヒロ
ヒロ

慣れていない方法での積分は慣れていないからこそやりにくく遅いのである。

ヒロ
ヒロ
したがって,この方法に慣れることから始めて欲しい。積分計算を高速化できることを期待する。
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