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置換しないで積分したい積分問題

置換しないで積分したい積分問題数学III

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積分問題2

ヒロ
ヒロ

それでは次の問題を解いてみよう。

問題2次の不定積分を求めよ。
(1) $\dint{}{}\dfrac{1}{\sqrt{5x-3}}dx$
(2) $\dint{}{}\sqrt[3]{(2x-1)^2}dx$
(3) $\dint{}{}\dfrac{1}{(3x-2)^2}dx$

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

(1)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

積分すると次数が1つ上がることを意識しよう。

$\sqrt{x}$ を微分するときに,$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ としてから微分するのではなく,
\begin{align*}
(\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}
の形で覚えよう。合成関数の場合は次のようになることも覚えよう。
\begin{align*}
\left(\sqrt{f(x)}\right)’=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}
\end{align*}
【(1)の考え方と解答】
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}\times x=\sqrt{x}$ を考えて次のように書こう。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{\sqrt{5x-3}}dx&= \sqrt{5x-3}+C
\end{align*}
$(\sqrt{5x-3})’=\dfrac{5}{2\sqrt{5x-3}}$ となるから,求める不定積分は次のようになる。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{\sqrt{5x-3}}dx=\dfrac{2}{5}\sqrt{5x-3}+C
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

この方法に慣れてきた場合は,$\sqrt{5x-3}=(5x-3)^{\frac{1}{2}}$ であることと, $x$ の係数が5であることから,$(\sqrt{5x-3})’$ を計算したときに $\dfrac{5}{2}$ が現れることが分かる。

ヒロ
ヒロ

積分結果を書くときには,現れた係数の逆数と被積分関数の係数の積を計算して書けば良いね。

(2)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

3乗根になっていても基本的な考え方は同じ。

【(2)の考え方と解答】
$\sqrt[3]{(2x-1)^2}$ の前に $2x-1$ をくっつけて次のように書こう。
\begin{align*}
\dint{}{}\sqrt[3]{(2x-1)^2}dx= (2x-1)\sqrt[3]{(2x-1)^2}+C
\end{align*}
$(2x-1)\sqrt[3]{(2x-1)^2}$ の微分を考えると,
係数は $\dfrac{5}{3}\times2=\dfrac{10}{3}$ となるから,求める不定積分は次のようになる。
\begin{align*}
\dint{}{}\sqrt[3]{(2x-1)^2}dx=\dfrac{3}{10}(2x-1)\sqrt[3]{(2x-1)^2}+C
\end{align*}

(3)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

分数関数の積分でも基本的には同じ考え方が通用する。

【(3)の考え方と解答】
$\dfrac{1}{(3x-2)^2}$ を積分すると次数が1つ上がって $\dfrac{1}{3x-2}$ の形になることを考えよう。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{(3x-2)^2}dx= \dfrac{1}{3x-2}+C
\end{align*}
$\dfrac{1}{3x-2}$ を微分すると,$-\dfrac{3}{(3x-2)^2}$ となるから
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{(3x-2)^2}dx=-\dfrac{1}{3(3x-2)}+C
\end{align*}

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