置換しないで積分したい積分問題

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(1)の考え方と解答

ヒロ

置換積分をする場合は，$2x-1=t$ とおくだろうが，置換しないで積分する場合は次のように考えよう。

【置換せずに積分するときの考え方】
① $(2x-1)^3$ は $x$ の多項式だから，積分すると次数が1つ上がる。
② 積分した後の形として $(2x-1)^4$ を思い浮かべる。
③ 微分するとどうなるかを確認する。

\begin{align*}
((2x-1)^4)’&=4(2x-1)^3\times2 \\[4pt]
&=8(2x-1)^3
\end{align*}

④ 元の式に戻るように係数を調整する。
$(2x-1)^3$ の係数は1だから，8で割っておけば良い。
⑤ 積分定数を書くのを忘れないように答えを書く。

\begin{align*}
\dint{}{}(2x-1)^3dx=\dfrac{1}{8}(2x-1)^4+C
\end{align*}

ただし，$C$ は積分定数とする。（これ以降，この記述を省略する）

ヒロ

慣れると置換しなくても積分できるようになるはず。

【少し慣れてきたときの書き方】
積分すると $(2x-1)^4$ が現れるから，係数を書くスペースを空けて

\begin{align*}
\dint{}{}(2x-1)^3dx=　(2x-1)^4+C
\end{align*}

と書く。頭の中で $(2x-1)^4$ を微分したときに，4と2が前に出てくることを考えると，掛けた8が係数になることが分かるから，逆数にして空けておいたスペースに書く。

\begin{align*}
\dint{}{}(2x-1)^3dx=\dfrac{1}{8}(2x-1)^4+C
\end{align*}

(2)の考え方と解答

ヒロ

根号を含む式を積分するときに累乗に直して書くのを辞めるとスピードアップにつながる。

【累乗に直すのは微分するときに少しだけ考える】
　まず，積分すると次数が1つ上がるから，根号の中身の $3x+2$ を次のように前にくっつけて書こう。もちろん係数をあとで調整するから，係数を書けるだけのスペースを確保しておこう。

\begin{align*}
\dint{}{}\sqrt{3x+2}dx=　(3x+2)\sqrt{3x+2}+C
\end{align*}

次に $(3x+2)\sqrt{3x+2}$ の微分を考える。

\begin{align*}
((3x+2)\sqrt{3x+2})’&=((3x+2)^{\frac{3}{2}})’ \\[4pt]
&=\dfrac{3}{2}\sqrt{3x+2}\times3
\end{align*}

ここで $(3x+2)^{\frac{3}{2}}$ と書き直して微分したけど，微分したら1つ次数が下がるので，前にくっついている $3x+2$ が消えるのは当然だね。わざわざ $\dfrac{3}{2}(3x+2)^{\frac{1}{2}}$ と累乗の形にしてから $\dfrac{3}{2}\sqrt{3x+2}$ と書き直すのを辞めよう。
　実際には「$(3x+2)\sqrt{3x+2}$ は $3x+2$ の $\dfrac{3}{2}$ 乗だな」と「$\dfrac{3}{2}$ 乗」という部分を思い浮かべることができれば暗算で計算できるようになるはず。微分したときの係数が $\dfrac{9}{2}$ になるから，空けておいたスペースに逆数を書けば完成。

\begin{align*}
\dint{}{}\sqrt{3x+2}dx=\dfrac{2}{9}(3x+2)\sqrt{3x+2}+C
\end{align*}