2001年センター試験 数学ⅡB 第1問 複素数平面

2001年センター試験数学ⅡB 第1問複素数平面の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2001年センターⅡB 第1問複素数平面(1) 方程式

\begin{align*}
z^3=2+2i~\cdots\cdots①
\end{align*}

を解こう。
　複素数 $2+2i$ を極形式で表すと

\begin{align*}
2+2i=\myBox{ア}\sqrt{\myBox{イ}}\left(\cos\myBox{ウエ}\Deg+i\sin\mybox{ウエ}\Deg\right)
\end{align*}

となる。

\begin{align*}
z=r(\cos\theta+i\sin\theta)
\end{align*}

とおき，①を満たす $r$, $\theta$ ($r>0$, $0\Deg\leqq\theta<360\Deg$)を求めると

\begin{align*}
&r=\sqrt{\myBox{オ}} \\[4pt]
&\theta=\myBox{カキ}\Deg,~\myBox{クケコ}\Deg,~255\Deg
\end{align*}

となる。
　したがって，複素数平面上の第2象限にある①の解は

\begin{align*}
-\myBox{サ}+i
\end{align*}

である。
(2) 次に方程式

\begin{align*}
z^6-4z^3+8=0~\cdots\cdots②
\end{align*}

の解について考えよう。
　②は $(z^3-2)^2=-\myBox{シ}$，すなわち

\begin{align*}
z^3=2\pm\myBox{ス}\,i
\end{align*}

となるから，(1)と同様に考えると，第2象限にある②の解は(1)で求めた

\begin{align*}
-\mybox{サ}+i
\end{align*}

と

\begin{align*}
\dfrac{\myBox{セ}-\sqrt{\myBox{ソ}}}{\myBox{タ}}+\dfrac{\myBox{チ}+\sqrt{\myBox{ツ}}}{\myBox{テ}}i
\end{align*}

の2個であり，他の解は第1象限に1個，第3象限に $\myBox{ト}$ 個，第4象限に $\myBox{ナ}$ 個存在する。
注　この問題において，複素数平面の象限とは，実軸を $x$ 軸，虚軸を $y$ 軸とした座標平面における象限のことをいう。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 2001年センター数学ⅡB 複素数平面を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

まずは極形式に変形する問題。絶対値でくくって変形すれば良いね。

【ア～エの解答】

\begin{align*}
2+2i&=2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right) \\[4pt]
&=2\sqrt{2}(\cos45\Deg+i\sin45\Deg)
\end{align*}

ヒロ

複素数を含む3次方程式を解く問題では，極形式を利用するのが基本なので，誘導通りに進めていこう。

【オ～コの解答】
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおくと，①より

\begin{align*}
r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)=2\sqrt{2}(\cos45\Deg+i\sin45\Deg)
\end{align*}

よって，

\begin{align*}
\begin{cases}
r^3=2\sqrt{2} \\[4pt]
3\theta=45\Deg+360\Deg\times k~(k=1,~2,~3)
\end{cases}
\end{align*}

$r^3=2\sqrt{2}$ より，$r=\sqrt{2}$
また，$3\theta=45\Deg,~405\Deg,~765\Deg$ より

\begin{align*}
\theta=15\Deg,~135\Deg,~255\Deg
\end{align*}

ヒロ

次は第2象限の意味が分かっていれば簡単だね。

【サの解答】
第2象限にあるのは，偏角が $135\Deg$ のときであるから

\begin{align*}
\sqrt{2}(\cos135\Deg+i\sin135\Deg)
&=\sqrt{2}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right) \\[4pt]
&=-1+i
\end{align*}

ヒロ

もし空欄を埋めるテクニックを使うなら，$r=\sqrt{2}$ であることを考えれば，$\myBox{サ}=1$ であることがすぐに分かる。

(2)の解答

(2) 次に方程式
\begin{align*}
z^6-4z^3+8=0~\cdots\cdots②
\end{align*}
の解について考えよう。
　②は $(z^3-2)^2=-\myBox{シ}$，すなわち
\begin{align*}
z^3=2\pm\myBox{ス}\,i
\end{align*}
となるから，(1)と同様に考えると，第2象限にある②の解は(1)で求めた
\begin{align*}
-\mybox{サ}+i
\end{align*}
と
\begin{align*}
\dfrac{\myBox{セ}-\sqrt{\myBox{ソ}}}{\myBox{タ}}+\dfrac{\myBox{チ}+\sqrt{\myBox{ツ}}}{\myBox{テ}}i
\end{align*}
の2個であり，他の解は第1象限に1個，第3象限に $\myBox{ト}$ 個，第4象限に $\myBox{ナ}$ 個存在する。

ヒロ

次は6次方程式を解く問題。$z^3$ をカタマリで見ると，$z^3$ の2次方程式になっているね。

ヒロ

誘導通りに進めていこう。

【シスの解答】
②より

\begin{align*}
&(z^3)^2-4z^3+8=0 \\[4pt]
&(z^3-2)^2+4=0 \\[4pt]
&(z^3-2)^2=-4
\end{align*}

よって

\begin{align*}
&z^3-2=\pm2i \\[4pt]
&z^3=2\pm2i
\end{align*}

ヒロ

「(1)と同様」とは，極形式を利用することを意味することに注意しよう。

【セ～テの解答】
$z^3=2+2i$ の解で複素数平面上の第2象限にあるものは $-1+i$ となるのは，さっき求めたから，今求めたいものは $z^3=2-2i$ の解の中にあることが分かる。$2-2i$ を極形式で表すと

\begin{align*}
2-2i&=2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right) \\[4pt]
&=2\sqrt{2}\left(\cos315\Deg+i\sin315\Deg\right)
\end{align*}

となる。$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおくと，②より

\begin{align*}
r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)=2\sqrt{2}(\cos315\Deg+i\sin315\Deg)
\end{align*}

よって，

\begin{align*}
\begin{cases}
r^3=2\sqrt{2} \\[4pt]
3\theta=315\Deg+360\Deg\times k~(k=1,~2,~3)
\end{cases}
\end{align*}

$r^3=2\sqrt{2}$ より，$r=\sqrt{2}$
また，$3\theta=315\Deg,~675\Deg,~1135\Deg$ より

\begin{align*}
\theta=105\Deg,~225\Deg,~345\Deg
\end{align*}

したがって，複素数平面上の第2象限にある②の解で $-1+i$ 以外のものは

\begin{align*}
2\sqrt{2}(\cos105\Deg+i\sin105\Deg)
\end{align*}

である。ここで，

\begin{align*}
\cos105\Deg
&=\cos(45\Deg+60\Deg) \\[4pt]
&=\cos45\Deg\cos60\Deg-\sin45\Deg\sin60\Deg \\[4pt]
&=\dfrac{1}{\sqrt2}\Cdota\dfrac12
-\dfrac{1}{\sqrt2}\Cdota\dfrac{\sqrt3}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2} \\[4pt]
\sin105\Deg
&=\sin(45\Deg+60\Deg) \\[4pt]
&=\sin45\Deg\cos60\Deg+\cos45\Deg\sin60\Deg \\[4pt]
&=\dfrac{1}{\sqrt2}\Cdota\dfrac12
+\dfrac{1}{\sqrt2}\Cdota\dfrac{\sqrt3}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}
\end{align*}

だから，

\begin{align*}
&2\sqrt{2}(\cos105\Deg+i\sin105\Deg) \\[4pt]
&=\sqrt{2}\left(\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+\dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}i\right) \\[4pt]
&=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}i
\end{align*}