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有名問題の考え方【不等式の証明】
有名問題次の不等式を証明せよ。ただし，$n$は自然数とする。
\begin{align*}
\dfrac23n\sqrt n<1+\sqrt2+\cdots+\sqrt n<\dfrac23n\sqrt n+\sqrt n
\end{align*}
\dfrac23n\sqrt n<1+\sqrt2+\cdots+\sqrt n<\dfrac23n\sqrt n+\sqrt n
\end{align*}
ヒロ
数学的帰納法でも証明できるけど，$\left(\dfrac23x\sqrt{x}\right)’=x$ だから，練習だと思って定積分を利用して証明してみよう。
ヒロ
左側と右側に分けて証明するのが面倒だと思うから，同時に証明しよう。
ヒロ
まずは，最左辺と最右辺に同じ項 $\dfrac23n\sqrt{n}$ があることに着目して，与えられた不等式を変形して，結局，何を証明すれば良いかを考えていこう。
$\dfrac23n\sqrt n<1+\sqrt2+\cdots+\sqrt n<\dfrac23n\sqrt n+\sqrt n$ より
\begin{align*}
1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}<\dfrac23n\sqrt{n}<1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}+\sqrt{n}
\end{align*}
1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}<\dfrac23n\sqrt{n}<1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}+\sqrt{n}
\end{align*}
ヒロ
次に，$\Sigma$ を用いて表すことができる部分は $\Sigma$ を用いて表そう。また，定積分で表すことができる部分を定積分で表そう。その後，積分区間を分割して $\Sigma$ を用いて表そう。
上の不等式を変形すると
\begin{align*}
&\Sum{k=1}{n-1}\sqrt{k}<\dint{0}{n}\sqrt{x}\;dx<\Sum{k=1}{n}\sqrt{k} \\[4pt]
&\Sum{k=1}{n-1}\sqrt{k}<\Sum{k=1}{n}\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\Sum{k=1}{n}\sqrt{k}
\end{align*}
&\Sum{k=1}{n-1}\sqrt{k}<\dint{0}{n}\sqrt{x}\;dx<\Sum{k=1}{n}\sqrt{k} \\[4pt]
&\Sum{k=1}{n-1}\sqrt{k}<\Sum{k=1}{n}\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\Sum{k=1}{n}\sqrt{k}
\end{align*}
ヒロ
定積分で表された中央の式を $\Sigma$ を用いて表すときは，最左辺か最右辺のどちらかと形を同じにしよう。今回は最右辺に合わせた状態になっている。
ヒロ
最左辺だけが $\Sigma$ の上端がずれた状態なので，$\Sum{k=1}{n}$ に揃えよう。
分かりやすくするために，一旦書き出すと
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n-1}\sqrt{k}=1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}
\end{align*}
となるが，$\Sum{k=1}{n}\spadesuit$ の形で表すと次のようになる。\Sum{k=1}{n-1}\sqrt{k}=1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}
\end{align*}
\begin{align*}
1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}=\Sum{k=1}{n}\sqrt{k-1}
\end{align*}
1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}=\Sum{k=1}{n}\sqrt{k-1}
\end{align*}
ヒロ
$k=1$ のときは，$\sqrt{k-1}=\sqrt{0}=0$ となるため，和は変わらないことに注意しよう。
ヒロ
これで $\Sigma$ の形が揃ったね。この後は $\Sigma$ の中身についての大小関係に持ち込もう。
証明するべき不等式は
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}\sqrt{k-1}<\Sum{k=1}{n}\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\Sum{k=1}{n}\sqrt{k}
\end{align*}
となり，これを証明するためには，\Sum{k=1}{n}\sqrt{k-1}<\Sum{k=1}{n}\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\Sum{k=1}{n}\sqrt{k}
\end{align*}
\begin{align*}
\sqrt{k-1}<\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\sqrt{k}
\end{align*}
が成り立つことを証明すればよい。\sqrt{k-1}<\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\sqrt{k}
\end{align*}
ヒロ
次は，中央の辺が定積分で表されているから，他の2つの辺も同じ積分範囲の定積分で表そう。
$\dint{k-1}{k}\;dx=1$ であることを利用すると，
\begin{align*}
\dint{k-1}{k}\sqrt{k-1}\;dx<\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\dint{k-1}{k}\sqrt{k}\;dx
\end{align*}
が成り立つことを証明すれば良いことが分かる。つまり $k-1\leqq x\leqq k$ において\dint{k-1}{k}\sqrt{k-1}\;dx<\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\dint{k-1}{k}\sqrt{k}\;dx
\end{align*}
\begin{align*}
\sqrt{k-1}\leqq\sqrt{x}\leqq\sqrt{k}
\end{align*}
が成り立つことを証明すれば良い。\sqrt{k-1}\leqq\sqrt{x}\leqq\sqrt{k}
\end{align*}
ヒロ
ここまで来れば，この不等式が成り立つことは分かるはず。証明としては，今計算した手順を全部逆に書いていけば良い。
【証明】
$k$ を自然数とすると，$k-1\leqq x\leqq k$ において
$k$ を自然数とすると，$k-1\leqq x\leqq k$ において
\begin{align*}
\sqrt{k-1}\leqq\sqrt{x}\leqq\sqrt{k}
\end{align*}
が成り立つ。等号は常には成り立たないから\sqrt{k-1}\leqq\sqrt{x}\leqq\sqrt{k}
\end{align*}
\begin{align*}
&\dint{k-1}{k}\sqrt{k-1}\;dx<\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\dint{k-1}{k}\sqrt{k}\;dx \\[4pt]
&\sqrt{k-1}<\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\sqrt{k}
\end{align*}
が成り立つ。ここで，$k=1,~2,~\cdots,~n$ として辺々を加えると，次のようになる。&\dint{k-1}{k}\sqrt{k-1}\;dx<\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\dint{k-1}{k}\sqrt{k}\;dx \\[4pt]
&\sqrt{k-1}<\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\sqrt{k}
\end{align*}
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}\sqrt{k-1}<\Sum{k=1}{n}\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\Sum{k=1}{n}\sqrt{k}
\end{align*}
中央の辺は\Sum{k=1}{n}\sqrt{k-1}<\Sum{k=1}{n}\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx<\Sum{k=1}{n}\sqrt{k}
\end{align*}
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx&=\dint{0}{n}\sqrt{x}\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac32x\sqrt{x}}{0}{n} \\[4pt]
&=\dfrac32n\sqrt{n}
\end{align*}
となるから\Sum{k=1}{n}\dint{k-1}{k}\sqrt{x}\;dx&=\dint{0}{n}\sqrt{x}\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac32x\sqrt{x}}{0}{n} \\[4pt]
&=\dfrac32n\sqrt{n}
\end{align*}
\begin{align*}
&\Sum{k=1}{n}\sqrt{k-1}<\dfrac23n\sqrt{n}<\Sum{k=1}{n}\sqrt{k} \\[4pt]
&1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}<\dfrac23n\sqrt{n}<1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n} \\[4pt]
&\dfrac23n\sqrt n<1+\sqrt2+\cdots+\sqrt n<\dfrac23n\sqrt n+\sqrt n
\end{align*}
&\Sum{k=1}{n}\sqrt{k-1}<\dfrac23n\sqrt{n}<\Sum{k=1}{n}\sqrt{k} \\[4pt]
&1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n-1}<\dfrac23n\sqrt{n}<1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n} \\[4pt]
&\dfrac23n\sqrt n<1+\sqrt2+\cdots+\sqrt n<\dfrac23n\sqrt n+\sqrt n
\end{align*}
ヒロ
この考え方であれば，グラフを描いて考えることが苦手な人でも，式変形によって，模範解答のような解答を作ることができるようになる。