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定積分と不等式の証明の入試問題 第三弾【東北学院大・九州大・津田塾大】

定積分を含む不等式の証明 part3数学III
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定積分を含む不等式の証明の第三弾です。具体的な入試問題を扱って説明します。

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2006年 東北学院大の入試問題の考え方

2006年 東北学院大関数 $y=\dfrac{1}{x}$ の定積分を用いて
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots\dfrac{1}{n}<\log n
\end{align*}
を示せ。ただし $n$ は2以上の自然数とする。
ヒロ
ヒロ

この問題では「定積分を用いて」とあるから,$\dfrac{1}{x}$ の原始関数を考えると $\log\abs{x}$ となることが頭に浮かぶ。

証明するべき不等式の右辺が $\log n$ であることから,
\begin{align*}
\log n=\dint{1}{n}\dfrac{1}{x}\;dx
\end{align*}
ということだと考えることができる。また,定積分が面積を表すと考えることもできるため,$y=\dfrac{1}{x}$ のグラフと2直線 $x=1,~x=n$,$x$ 軸で囲まれる図形の面積,すなわち,次の図の斜線部分の面積と認識することができる。
定積分を含む不等式の証明 part3
ヒロ
ヒロ

ということで,右辺を面積として捉えたのだから,左辺も面積として捉えよう。

ヒロ
ヒロ

また,今回は不等式の証明をするのだから,上図の斜線部分の面積より小さくなるような図形として,左辺を捉えなければならない。

ヒロ
ヒロ

そのために,もう一度グラフを見て,左辺の式を図形として捉えていこう。

左辺の各項は
\begin{align*}
\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{4},~\cdots,~\dfrac{1}{n}
\end{align*}
となっていて,これは $f(x)=\dfrac{1}{x}$ とおくと,
\begin{align*}
f(2),~f(3),~f(4),~\cdots,~f(n)
\end{align*}
となっていることに気付く。これをグラフで確認してみよう。
定積分を含む不等式の証明 part3
ここで,
\begin{align*}
f(2)+f(3)+f(4)+\cdots+f(n)
\end{align*}
はそのままだと,ただ線分の長さを足し合わせただけで面積にはならない。そこで,底辺の長さが1の長方形を考えることで式を変えずに,面積として捉えることができる。
ヒロ
ヒロ

ただ,ここで1つの疑問が生じる。左側と右側のどちらに長方形を作るのか?

【左側に長方形を作った場合】
定積分を含む不等式の証明 part3
【右側に長方形を作った場合】
定積分を含む不等式の証明 part3
ヒロ
ヒロ

いま,証明したいことは,赤色部分の面積が青色斜線部分より大きいことだね。どちらの図で考えると,簡単に証明できるかを考えよう。両端が揃っている図で考えた方が,楽だろうということは分かるはず。

例えば,$1\leqq x\leqq2$ の部分に着目すると,次の図のように,斜線部分は赤色部分に含まれるため,斜線部分の面積は赤色部分の面積より小さいことが分かる。
定積分を含む不等式の証明 part3
ヒロ
ヒロ

このことが $1\leqq x\leqq 2$, $2\leqq x\leqq3$, $\cdots, n-1\leqq x\leqq n$ のすべての部分で成り立つことを証明すれば良い。

ヒロ
ヒロ

一気に証明するために文字を利用しよう。つまり,$k\leqq x\leqq k+1~(k=1,~2,~\cdots,~n-1)$ において,斜線部分の面積が赤色部分の面積より小さいことを証明しよう。

$y=\dfrac{1}{x}$ は単調に減少する関数であるから,$k\leqq x\leqq k+1$ において,$\dfrac{1}{k+1}\leqq\dfrac{1}{x}\leqq\dfrac{1}{k}$ が成り立つ。ただし,$k$ を自然数とする。
定積分を含む不等式の証明 part3
常には等号は成り立たないから,
\begin{align*}
&\dint{k}{k+1}\dfrac{1}{k+1}\;dx<\dint{k}{k+1}\dfrac{1}{x}\;dx \\[4pt]&\dfrac{1}{k+1}<\dint{k}{k+1}\dfrac{1}{x}\;dx
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

左辺の定積分は,$\dfrac{1}{k+1}$ が $x$ によらない定数であることに注意しよう。積分範囲が1だから,被積分関数である $\dfrac{1}{k+1}$ がそのまま出てくる。というか,そもそも幅1,高さ $\dfrac{1}{k+1}$ の長方形の面積を考えているから,この結果は当然であるともいえる。

ヒロ
ヒロ

上の不等式は $k$ が自然数であれば成り立つことを利用すれば,与えられた不等式の証明はできるね。

$k$ が自然数のとき,$\dfrac{1}{k+1}<\dint{k}{k+1}\dfrac{1}{x}\;dx$ が成り立つから
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}<\dint{1}{2}\dfrac{1}{x}\;dx \\[4pt]&\dfrac{1}{3}<\dint{2}{3}\dfrac{1}{x}\;dx \\[4pt]&\quad\quad\vdots \\[4pt]&\dfrac{1}{n}<\dint{n-1}{n}\dfrac{1}{x}\;dx
\end{align*}
となり,辺々を加えると,次のようになる。
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}<\dint{1}{2}\dfrac{1}{x}\;dx+\dint{2}{3}\dfrac{1}{x}\;dx+\cdots+\dint{n-1}{n}\dfrac{1}{x}\;dx
\end{align*}
ここで,右辺は最初に計算した定積分を思い出すと
\begin{align*}
(右辺)&=\dint{1}{n}\dfrac{1}{x}\;dx=\log n
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}<\log n
\end{align*}
が成り立つ。

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