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定積分と不等式の証明の入試問題 第四弾【愛知教育大・有名問題・琉球大】

定積分を含む不等式の証明 part4数学III
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定積分を含む不等式の証明の問題の第四弾です。今回の記事は,前回の記事のようにグラフを描いて面積の大小関係を色々と考えるのが苦手な人にとって,役に立つかもしれない記事です。

したがって,グラフを利用してスラスラと不等式を証明できてしまう優秀な人には無用のものとなるかもしれません。

しかし,何回説明を聞いても,説明を理解することはできても,自力では問題を解けるようにならない人がいるのも事実です。1つの解法に拘らず,他の解法を知ることで,自力で問題を解けるようになるかもしれないし,今まで扱いきれなかった解法を扱えるようになるかもしれません。

この記事が役に立ったと思う方が1人でもいれば幸いです。

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2003年 愛知教育大の入試問題の考え方

2003年 愛知教育大任意の自然数 $n$ に対して,不等式
\begin{align*}
\dfrac{1}{(n+1)^2}\leqq\dint{n}{n+1}\dfrac{1}{x^2}\;dx\leqq\dfrac{1}{n^2}
\end{align*}
および
\begin{align*}
1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\leqq2-\dfrac{1}{n}
\end{align*}
が成り立つことを示せ。
ヒロ
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グラフを描いて,図形の面積の大小関係を色々考えるのが苦手な人は,ほとんどグラフを描かずに数式を変形するだけで証明する方法を身に付けると良いかもしれない。

ヒロ
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定積分を含む不等式の証明では,すべての辺を同じ積分区間の定積分で表そう。その際には次のことを考えよう。

定数を積分する場合は,積分結果は,その定数に積分区間の上端と下端の差を掛けたものになる。つまり $k$ が定数であるとき
\begin{align*}
\dint{a}{b}k\;dx=\tint{kx}{a}{b}=k(b-a)
\end{align*}
が成り立つ。定積分が面積を表すことを考えると,$\dint{a}{b}k\;dx$ は高さ $k$,幅 $b-a$ の長方形の面積を表していると考えることができるのだから,上のことは当然だと思うことができるだろう。
ヒロ
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今回の問題では,$n$ から $n+1$ までの定積分で表すことを考える。

$n$ と $n+1$ の差が1であることと,最左辺と最右辺が定数であることから,証明するべき不等式は
\begin{align*}
\dint{n}{n+1}\dfrac{1}{(n+1)^2}\;dx\leqq\dint{n}{n+1}\dfrac{1}{x^2}\;dx\leqq\dint{n}{n+1}\dfrac{1}{n^2}\;dx
\end{align*}
と変形できる。
ヒロ
ヒロ

あとはpart1の記事で書いた「定積分と不等式」を利用,つまり積分範囲における被積分関数の大小関係を考えて,与えられた不等式を証明するだけだね。

【証明】
$n\leqq x\leqq n+1$ において,$\dfrac{1}{(n+1)^2}\leqq\dfrac{1}{x^2}\leqq\dfrac{1}{n^2}$ が成り立つから
\begin{align*}
&\dint{n}{n+1}\dfrac{1}{(n+1)^2}\;dx\leqq\dint{n}{n+1}\dfrac{1}{x^2}\;dx\leqq\dint{n}{n+1}\dfrac{1}{n^2}\;dx \\[4pt]&\dfrac{1}{(n+1)^2}\leqq\dint{n}{n+1}\dfrac{1}{x^2}\;dx\leqq\dfrac{1}{n^2}
\end{align*}
となる。
ヒロ
ヒロ

では,もう1つの不等式を証明しよう。

ヒロ
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前回part3の記事でも書いたように,まずは微分積分の関係に着目しよう。

ヒロ
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$\left(-\dfrac{1}{x}\right)’=\dfrac{1}{x^2}$ であることを考えて,証明するべき不等式を変形しよう。

まずは積分範囲を考える。
\begin{align*}
\dint{p}{q}\dfrac{1}{x^2}\;dx&=\Tint{-\dfrac{1}{x}}{p}{q} \\[4pt]&=-\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{p}
\end{align*}
より,$\dint{p}{q}\dfrac{1}{x^2}\;dx=2-\dfrac{1}{n}$ となる整数 $p,~q$ をうまく決められない。そんな場合は,両辺に同じ項があることが多いので,その同じ項を取り除いて考えよう。証明するべき不等式の両辺から1を引くと
\begin{align*}
&\Sum{k=2}{n}\dfrac{1}{k^2}\leqq1-\dfrac{1}{n^2}
\end{align*}
となる。ここで,さっきの $p,~q$ を考えると,$p=1,~q=n$ とするとうまくいくことに気付く。つまり,右辺は
\begin{align*}
1-\dfrac{1}{n^2}=\dint{1}{n}\dfrac{1}{x^2}\;dx
\end{align*}
と表すことができるから
\begin{align*}
&\Sum{k=2}{n}\dfrac{1}{k^2}\leqq\dint{1}{n}\dfrac{1}{x^2}\;dx
\end{align*}
を証明すれば良い。
ヒロ
ヒロ

$\Sigma$ と $\dint{}{}$ があるときは,$\Sigma$ を優先して,両辺を $\Sigma$ を使って表そう。

$\Sum{k=2}{n}\dfrac{1}{k^2}\leqq\dint{1}{n}\dfrac{1}{x^2}\;dx$ を変形すると
\begin{align*}
\Sum{k=2}{n}\dfrac{1}{k^2}\leqq\Sum{k=2}{n}\dint{k-1}{k}\dfrac{1}{x^2}\;dx
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
\dfrac{1}{k^2}\leqq\dint{k-1}{k}\dfrac{1}{x^2}\;dx
\end{align*}
を証明すれば良い。両辺を定積分で表すと次のようになる。
\begin{align*}
\dint{k-1}{k}\dfrac{1}{k^2}\;dx\leqq\dint{k-1}{k}\dfrac{1}{x^2}\;dx
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

この後は $k-1\leqq x\leqq k$ において,$\dfrac{1}{k^2}\leqq\dfrac{1}{x^2}$ が成り立つことを証明すれば良いけど,これは簡単というかそのままだね。実際の証明では,今考えたことを逆に書いていくだけで完璧な答案を仕上げることができる。

【証明】
$k$ を2以上の整数とすると,$k-1\leqq x\leqq k$ において,
\begin{align*}
\dfrac{1}{k^2}\leqq\dfrac{1}{x^2}
\end{align*}
が成り立つから
\begin{align*}
&\dint{k-1}{k}\dfrac{1}{k^2}\;dx\leqq\dint{k-1}{k}\dfrac{1}{x^2}\;dx \\[4pt]&\dfrac{1}{k^2}\leqq\dint{k-1}{k}\dfrac{1}{x^2}\;dx
\end{align*}
$k=2,~3,~\cdots,~n$ として,辺々を加えると次のようになる。
\begin{align*}
\Sum{k=2}{n}\dfrac{1}{k^2}\leqq\Sum{k=2}{n}\dint{k-1}{k}\dfrac{1}{x^2}\;dx
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
\Sum{k=2}{n}\dint{k-1}{k}\dfrac{1}{x^2}\;dx&=\dint{1}{n}\dfrac{1}{x^2}\;dx \\[4pt]&=\Tint{-\dfrac{1}{x}}{1}{n} \\[4pt]&=1-\dfrac{1}{n}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
\Sum{k=2}{n}\dfrac{1}{k^2}\leqq1-\dfrac{1}{n}
\end{align*}
が成り立つ。両辺に1を加えて
\begin{align*}
1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\leqq2-\dfrac{1}{n}
\end{align*}
この結果において,$\dlim{n\to\infty}\left(2-\dfrac{1}{n}\right)=2$ であることを考えると,$\Sum{n=1}{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ は2以下の値に収束するのかなということが分かる。実際には
\begin{align*}
\Sum{n=1}{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}
\end{align*}
であることが知られている。有理数を無限に加え続けると無理数になるという,なんとも不思議な結果である。
ヒロ
ヒロ

これはバーゼル問題と呼ばれる有名問題の1つであるが,また別の記事で扱うことにする。

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